Сверхсильная топология

В функциональном анализе сверхсильная топология , или σ-строгая топология , или сильнейшая топология на множестве B(H) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве — это топология, определяемая семейством полунорм. $p_{\omega }(x)=\omega (x^{*}x)^{1/2}$ для положительных элементов $\omega$ предуального $L_{*}(H)$ который состоит из класса трассировки операторов . ^[1]^: 68

Он был введен Джоном фон Нейманом в 1936 году. ^[2]

Связь со сильной (операторной) топологией

Сверхсильная топология аналогична сильной (операторной) топологии. Например, на любом ограниченном по норме множестве сильный оператор и сверхсильная топология совпадают. Сверхсильная топология сильнее топологии сильного оператора.

Одна из проблем топологии сильных операторов заключается в том, что двойственный B(H) с топологией сильных операторов «слишком мал». Сверхсильная топология решает эту проблему: двойственный оператор является полным предуальным B _* (H) всех операторов ядерного класса. В целом сверхсильная топология лучше, чем топология сильных операторов, но ее сложнее определить, поэтому люди обычно используют топологию сильных операторов, если это им сходит с рук.

Сверхсильная топология может быть получена из сильной операторной топологии следующим образом. Если H ₁ — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство, то B(H) можно вложить в B ( H ⊗ H ₁ ) путем тензорирования с тождественным отображением на H ₁ . Тогда ограничение топологии сильного оператора на B ( H ⊗ H ₁ ) — ультрасильная топология B(H) .Эквивалентно, он задается семейством полунорм $x\mapsto \left(\sum _{n=1}^{\infty }\|x\xi _{n}\|^{2}\right)^{1/2},$ где $\sum _{n=1}^{\infty }\|\xi _{n}\|^{2}<\infty .$ ^[1]^: 68

Сопряженное отображение не является непрерывным в сверхсильной топологии. Существует еще одна топология, называемая сверхсильной* топологией, которая является слабейшей топологией, более сильной, чем сверхсильная топология, такой, что присоединенное отображение является непрерывным. ^[1]^: 68

См. также

Сильная операторная топология - локально выпуклая топология в функциональных пространствах.
Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств.
Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
Ультраслабая топология

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Такэсаки, Масамичи (2002). Теория операторных алгебр. Я. Берлин : Springer-Verlag. ISBN 3-540-42248-Х .
^ фон Нейман, Джон (1936), «О некоторой топологии колец операторов», Annals of Mathematics , Second Series, 37 (1): 111–115, doi : 10.2307/1968692 , JSTOR 1968692

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[TakesakiI-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Такэсаки, Масамичи (2002). Теория операторных алгебр. Я. Берлин : Springer-Verlag. ISBN 3-540-42248-Х .

[2] фон Нейман, Джон (1936), «О некоторой топологии колец операторов», Annals of Mathematics , Second Series, 37 (1): 111–115, doi : 10.2307/1968692 , JSTOR 1968692

[1]

[2]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и Двойственность и пространства линейных отображений
Basic concepts	Dual space Dual system Dual topology Duality Operator topologies Polar set Polar topology Topologies on spaces of linear maps
Topologies	Norm topology Dual norm Ultraweak/Weak-* Weak polar operator in Hilbert spaces Mackey Strong dual polar topology operator Ultrastrong
Main results	Banach–Alaoglu Mackey–Arens
Maps	Transpose of a linear map
Subsets	Saturated family Total set
Other concepts	Biorthogonal system

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category