Распространенные и застенчивые наборы

В математике понятия распространенности и застенчивости — это понятия « почти везде » и « нулевой меры », которые хорошо подходят для изучения бесконечномерных пространств . и используют трансляционно-инвариантную меру Лебега на конечномерных реальных пространствах . Термин «застенчивый» предложил американский математик Джон Милнор .

Определения

и

Позволять $V$ — действительное топологическое векторное пространство и пусть $S$ быть по Борелю подмножеством измеримым $V.$ $S$ называется преобладающим , если существует конечномерное подпространство $P$ из $V,$ называется набором проб , таким, что для всех $v\in V$ у нас есть $v+p\in S$ для $\lambda _{P}$- почти все $p\in P,$ где $\lambda _{P}$ обозначает $\dim(P)$-мерная мера Лебега на $P.$ Другими словами, для каждого $v\in V,$ Лебег-почти каждая точка гиперплоскости $v+P$ лежит в $S.$

Неборелевское подмножество $V$ называется преобладающим, если оно содержит преобладающее борелевское подмножество.

Подмножество Бореля $V$ говорят, что он застенчив его дополнение , если преобладает ; неборелевское подмножество $V$ называется застенчивым, если оно содержится в застенчивом подмножестве Бореля.

Альтернативное и немного более общее определение состоит в том, чтобы определить множество $S$ стесняться, если существует поперечная мера для $S$ (кроме тривиальной меры ).

Местная

Подмножество $S$ из $V$ называется локально застенчивым, если каждая точка $v\in V$ есть район $N_{v}$ которого пересечение с $S$ это застенчивый набор. $S$ Говорят, что он локально распространен, если его дополнение локально застенчиво.

и

• Если $S$ застенчив, как и все остальные $S$ и каждый перевод $S.$
• Каждый застенчивый набор Бореля $S$ допускает трансверсальную меру, конечную и имеющую компактный носитель . При этом эту меру можно выбрать так, чтобы ее носитель имел сколь угодно малый диаметр .
• Любое конечное или счетное объединение застенчивых множеств также застенчиво. Аналогично, преобладает счетное пересечение распространённых множеств.
• Любая застенчивая группа одновременно застенчива и локально. Если $V$ является сепарабельным пространством , то каждое локально ограниченное подмножество $V$ тоже застенчив.
• Подмножество $S$ из $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ застенчив тогда и только тогда, когда он имеет нулевую меру Лебега.
• Любое распространенное подмножество $S$ из $V$ плотный ​ в $V.$
• Если $V$ бесконечномерно, то любое компактное подмножество $V$ застенчив.

Ниже слово «почти каждое» означает, что указанное свойство справедливо для преобладающего подмножества рассматриваемого пространства.

• Почти каждая непрерывная функция из интервала $[0,1]$ в реальную линию $\mathbb {R}$ нигде не дифференцируема ; здесь космос $V$ является $C([0,1];\mathbb {R} )$ с топологией, индуцированной супремум-нормой .
• Почти каждая функция $f$ в $L^{p}$ космос $L^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ имеет свойство, которое
  $$\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.$$
  Очевидно, это же свойство справедливо и для пространств $k$-раз дифференцируемые функции $C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).$
• Для $1<p\leq +\infty ,$ почти каждая последовательность $a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}$ обладает тем свойством, что ряд
  $$\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$$
  расходится.
• Версия теоремы вложения Уитни о распространенности : пусть $M$ — компактное многообразие класса $C^{1}$ и размер $d$ содержится в $\mathbb {R} ^{n}.$ Для $1\leq k\leq +\infty ,$ почти каждый $C^{k}$ функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}$ представляет вложение собой $M.$
• Если $A$ представляет собой компактное подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ с размерностью Хаусдорфа $d,$ $m\geq ,$ и $1\leq k\leq +\infty ,$ тогда почти для каждого $C^{k}$ функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ $f(A)$ следовательно, имеет размерность Хаусдорфа $d.$
• Для $1\leq k\leq +\infty ,$ почти каждый $C^{k}$ функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ обладает тем свойством, что все его периодические точки гиперболичны. В частности, то же самое справедливо для всего периода $p$ точек, для любого целого числа $p.$

Ссылки

• Хант, Брайан Р. (1994). «Распространенность непрерывных, нигде не дифференцируемых функций» . Учеб. амер. Математика. Соц . 122 (3). Американское математическое общество: 711–717. дои : 10.2307/2160745 . JSTOR   2160745 .
• Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный «почти каждый» в бесконечномерных пространствах». Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 27 (2): 217–238. arXiv : математика/9210220 . дои : 10.1090/S0273-0979-1992-00328-2 . S2CID   17534021 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )