Дифференцируемая функция

В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция которой , производная существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или точки возврата .

Если $x0 если$ является внутренней точкой области определения функции $f$ , то $f$ называется дифференцируемой в точке $, x0$ производная $f'(x_{0})$ существует. Другими словами, график $f$ имеет невертикальную касательную в точке $(x 0, f (x 0) )$ . $f$ Говорят, что $дифференцируема на U$ если она дифференцируема в каждой точке $U.$ , $f$ Говорят, что непрерывно дифференцируема , если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции ${\textstyle f}$ . Вообще говоря, $говорят, что f$ принадлежит к классу $C^{k}$ если это первый $k$ деривативы ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ существуют и непрерывны в области определения функции ${\textstyle f}$ .

Для функции многих переменных, как показано здесь , ее дифференцируемость является чем-то более сложным, чем существование ее частных производных.

Дифференцируемость вещественных функций одной переменной

Функция $f:U\to \mathbb {R}$ , определенный на открытом множестве ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ , называется дифференцируемым при $a\in U$ если производная

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

существует. Это означает, что функция непрерывна в точке $a$ .

Эту функцию $f$ называют дифференцируемой на $U$ если она дифференцируема в каждой точке $U.$ , Таким образом, в этом случае производная $f$ является функцией из $U$ в $\mathbb {R} .$

Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе «Дифференцируемость и непрерывность »). Функция называется непрерывно дифференцируемой , если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости ).

Дифференцируемость и непрерывность

Если $f$ дифференцируема в точке $x0,$ то $f$ также должна быть непрерывной в $x0 .$ точке В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно должна быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точках. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. ^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции весьма нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .

Классы дифференцируемости

Функция ${\textstyle f}$ Говорят, что это непрерывно дифференцируема, если производная ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачкообразного разрыва , она может иметь существенный разрыв . Например, функция $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}$ дифференцируемо в точке 0, так как $f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0$ существует. Однако для $x\neq 0,$ правила дифференциации предполагают $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,$ который не имеет предела, поскольку $x\to 0.$ Таким образом, этот пример показывает существование функции, которая является дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой (т. е. производная не является непрерывной функцией). Тем не менее, из теоремы Дарбу следует, что производная любой функции удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении .

Подобно тому, как говорят, что непрерывные функции принадлежат классу $C^{0},$ о непрерывно дифференцируемых функциях иногда говорят, что они принадлежат к классу $C^{1}$ . Функция имеет класс $C^{2}$ если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция принадлежит классу $C^{k}$ если первый $k$ деривативы ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ все существуют и непрерывны. Если производные $f^{(n)}$ существуют для всех положительных целых чисел ${\textstyle n,}$ функция гладкая или, что то же самое, класса $C^{\infty }.$

Дифференцируемость в более высоких размерностях

Функция нескольких действительных переменных $f : R м \to Р н$ называется дифференцируемым в точке $x0,$ если существует линейное отображение $J : R м \to Р н$ такой, что

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

Если функция дифференцируема в точке $x0,$ то все частные производные существуют в точке $x0,$ а линейное отображение $J$ задается матрицей Якобиана , размера n × m в данном случае матрицей . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой о приращении, найденной в исчислении с одной переменной.

частные производные функции существуют в окрестности точки $x0 Если$ и непрерывны в точке $x0 все$ функция дифференцируема в этой точке $x0, то$ .

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция $f : R 2 \to R$ определяется формулой

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

не дифференцируема в точке $(0, 0)$ , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

не дифференцируема в точке $(0, 0)$ , но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.

Дифференцируемость в комплексном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается благодаря возможности деления комплексных чисел . Итак, функция ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ называется дифференцируемым при ${\textstyle x=a}$ когда

f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Хотя это определение похоже на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако оно является более ограничительным условием. Функция ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ , комплексно-дифференцируемый в точке ${\textstyle x=a}$ автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ . Это потому, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что

\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.

Однако функция ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не является комплексно-дифференцируемой. Например, $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ дифференцируема в каждой точке и рассматривается как действительная функция с двумя переменными $f(x,y)=x$ , но он не является комплексно-дифференцируемым в любой точке, поскольку предел ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$ не существует (например, зависит от угла подхода).

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .

Дифференцируемые функции на многообразиях

Если M — дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f : M → N называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).

См. также

Ссылки

^ Банах, С. (1931). «О байровской категории некоторых множеств функций» . Студия Математики 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 . . Цитируется Хьюитт, Э; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. Теорема 17.8.

[1] Банах, С. (1931). «О байровской категории некоторых множеств функций» . Студия Математики 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 . . Цитируется Хьюитт, Э; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. Теорема 17.8.

[1]