Статистическое многообразие

В математике называется статистическим многообразием риманово многообразие , каждая точка которого представляет собой распределение вероятностей . Статистические многообразия обеспечивают основу для области информационной геометрии . Информационная метрика Фишера обеспечивает метрику на этих многообразиях. Согласно этому определению, функция логарифмического правдоподобия представляет собой дифференцируемую карту , а оценка — включение . ^[1]

Примеры [ править ]

Семейство всех нормальных распределений можно рассматривать как двумерное параметрическое пространство, параметризованное ожидаемым значением μ и дисперсией σ. ² ≥ 0. Оснащенное римановой метрикой , заданной информационной матрицей Фишера , это статистическое многообразие с геометрией, моделируемой в гиперболическом пространстве . Способ изображения многообразия осуществляется путем вывода параметрических уравнений с помощью информации Фишера, а не исходя из функции правдоподобия.

Простым примером статистического многообразия, взятого из физики, может быть канонический ансамбль : это одномерное многообразие, в котором температура T служит координатой на многообразии. Для любой фиксированной температуры T существует вероятностное пространство: так, для газа атомов это будет вероятностное распределение скоростей атомов. При изменении температуры T распределение вероятностей меняется.

Еще одним простым примером, взятым из медицины, может быть распределение вероятностей исходов лечения пациентов в зависимости от количества введенного лекарства. То есть при фиксированной дозе у некоторых пациентов наблюдается улучшение, а у некоторых нет: это базовое пространство вероятностей. Если дозировка варьируется, то меняется вероятность исходов. Таким образом, дозировка является координатой на коллекторе. Чтобы получить гладкое многообразие , нужно было бы измерять результаты в ответ на сколь угодно малые изменения дозировки; это практически нереализуемый пример, если только у нас нет ранее существовавшей математической модели реакции на дозу, в которой доза может изменяться произвольно.

Определение [ править ]

Пусть X — ориентируемое многообразие и пусть $(X,\Sigma ,\mu )$ быть мерой на X . Эквивалентно, пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством на $\Omega =X$ , с сигма-алгеброй ${\mathcal {F}}=\Sigma$ и вероятность $P=\mu$ .

Статистическое многообразие S ( X ) пространства X определяется как пространство всех мер $\mu$ на X (с сигма-алгеброй $\Sigma$ остается фиксированным). Заметим, что это пространство бесконечномерно; обычно его называют пространством Фреше . Точки S ( X ) являются мерами.

Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечномерным пространством S ( X ), обычно работают с конечномерным подмногообразием , определяемым путем рассмотрения набора вероятностных распределений, параметризованных некоторым гладким, непрерывно меняющимся параметром. $\theta$ . То есть рассматриваются только те меры, которые выбраны по параметру. Если параметр $\theta$ n -мерно, то, вообще говоря, и подмногообразие будет таким же. Таким образом можно понять все конечномерные статистические многообразия. ^{[ нужны разъяснения ]}

См. также [ править ]

Chentsov's theorem

Ссылки [ править ]

^ Мюррей, Майкл К.; Райс, Джон В. (1993). «Определение статистического многообразия» . Дифференциальная геометрия и статистика . Чепмен и Холл. стр. 76–77. ISBN 0-412-39860-5 .

[1] Мюррей, Майкл К.; Райс, Джон В. (1993). «Определение статистического многообразия» . Дифференциальная геометрия и статистика . Чепмен и Холл. стр. 76–77. ISBN 0-412-39860-5 .

[1]