Фундаментальная лемма о приращении

с одной переменной В дифференциальном исчислении фундаментальная лемма о приращении является непосредственным следствием определения производной . ${\textstyle f'(a)}$ функции ​ ${\textstyle f}$ в какой-то момент ${\textstyle a}$:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Лемма утверждает, что из существования этой производной следует существование функции $\varphi$ такой, что

$\lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h$

для достаточно малого, но ненулевого ${\textstyle h}$. Для доказательства достаточно определить

$\varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}-f'(a)$

и проверьте это $\varphi$ соответствует требованиям.

Лемма гласит, что, по крайней мере, когда $h$ достаточно близко к нулю, так что разностный коэффициент

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

может быть записано как производная f' плюс член ошибки $\varphi (h)$ который исчезает в $h=0$.

Т.е. у человека есть,

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)+\varphi (h).$

в более

В том, что существование $\varphi$ однозначно характеризует число $f'(a)$Можно сказать, что фундаментальная лемма о приращении характеризует дифференцируемость функций одной переменной. По этой причине обобщение леммы можно использовать при определении дифференцируемости в исчислении многих переменных . В частности, предположим, что f отображает некоторое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R}$. Тогда f говорят, что дифференцируема в точке a , если существует линейная функция

$M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

и функция

$\Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf {0} \},$

такой, что

$\lim _{\mathbf {h} \to 0}\Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert$

для ненулевого h, достаточно близкого к 0 . В этом случае M является единственной производной (или полной производной , чтобы отличать ее от направленных и частных производных ) f в точке a . Примечательно, что M задается матрицей Якобиана , f оцененной при a .

Мы можем записать приведенное выше уравнение в терминах частных производных ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ как

$f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert$

См. также

• Обобщения производной

Ссылки

• Талман, Луи (12 сентября 2007 г.). «Дифференцируемость функций многих переменных» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2010 г. Проверено 28 июня 2012 г.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление (7-е изд.). Cengage Обучение. п. 942. ИСБН  978-0538498845 .
• Фолланд, Джеральд. «Производные и линейная аппроксимация» (PDF) .