Полудифференцируемость

В исчислении понятия односторонней дифференцируемости и полудифференцируемости функции действительнозначной чем , f действительной переменной слабее дифференцируемость . В частности, функция f называется дифференцируемой справа в точке a, если, грубо говоря, производная может быть определена, когда аргумент функции x перемещается в точку a справа, и дифференцируемой слева в точке a, если производная может быть определена как x перемещается влево .

Одномерный случай [ править ]

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как там функция не является непрерывной . Однако во всех точках он имеет правую производную, причем постоянно равен 0.

В математике левая производная и правая производная — это производные (скорости изменения функции), определенные для движения только в одном направлении (влево или вправо; то есть к более низким или более высоким значениям) аргументом функции.

Определения [ править ]

Пусть f обозначает вещественную функцию, определенную на подмножестве I действительных чисел.

Если a I предельная точка I [   a и , ∞) односторонний предел

существует как действительное число, то f называется дифференцируемым справа в точке a а предел + f ( a ) называется правой производной f , в точке a .

Если a I — предельная точка I   (–∞, a ] и односторонний предел

существует как действительное число, то f называется дифференцируемым слева в точке a а предел f ( a ) называется левой производной f , в точке a .

Если a I является предельной точкой I   [ a , ∞) и I (–∞, a ] и если f дифференцируема слева и справа в точке a , то f называется полудифференцируемой в точке a .

Если левая и правая производные равны, то они имеют то же значение, что и обычная («двунаправленная») производная. Можно также определить симметричную производную , которая равна среднему арифметическому левой и правой производных (если они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная не существует. [1]

Замечания и примеры [ править ]

  • Функция дифференцируема во внутренней точке а своей области определения тогда и только тогда, когда она полудифференцируема в точке а и левая производная равна правой производной.
  • Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, является абсолютного значения . функция , при a = 0. Легко находим
  • Если функция полудифференцируема в точке a , это означает, что она непрерывна в точке a .
  • Индикаторная функция 1 [0,∞) дифференцируема справа при каждом вещественном a , но разрывна в нуле (заметим, что эта индикаторная функция не дифференцируема слева в нуле).

Приложение [ править ]

Если вещественная дифференцируемая функция f , определенная на интервале I действительной прямой, имеет всюду нулевую производную, то она постоянна, как применение теоремы о среднем значении показывает . Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости f . Версия для дифференцируемых справа функций приведена ниже, версия для дифференцируемых слева функций аналогична.

Теорема . Пусть f вещественная непрерывная функция , определенная на произвольном интервале I действительной прямой. Если f дифференцируема справа в каждой точке a I , которая не является верхней границей интервала, и если эта правая производная всегда равна нулю, f постоянна то .

Доказательство

Для доказательства от противного предположим, что существует a < b в I такое, что f ( a ) ≠ f ( b ) . Затем

Определите c как нижнюю границу всех тех x в интервале ( a , b ], для которых разностный коэффициент f ε превышает по абсолютной величине, т.е.

Из непрерывности f следует, что c < b и | ж ( c ) – ж ( а ) | знак равно ε ( c а ) . В точке c правая производная f по предположению равна нулю, следовательно, существует d в интервале ( c , b ] с | f ( x ) – f ( c ) | ≤ ε ( x c ) для всех x в ( c , d ] . Следовательно, по неравенству треугольника ,

для всех x в [ c , d ) , что противоречит определению c .

Дифференциальные операторы, действующие слева или справа [ править ]

Другим распространенным применением является описание производных, рассматриваемых как бинарные операторы в инфиксной записи , в которой производные должны применяться либо к левому, либо к правому операнду . Это полезно, например, при определении обобщений скобки Пуассона . Для пары функций f и g левая и правая производные определяются соответственно как

В нотации бра-кет оператор производной может действовать на правый операнд как регулярную производную или на левый как отрицательную производную. [2]

Случай более высокой размерности [ править ]

Это приведенное выше определение можно обобщить на вещественнозначные функции f, определенные на подмножествах R. н используя более слабую версию производной по направлению . Пусть a — внутренняя точка области определения f . Тогда f называется полудифференцируемым в точке a, если для любого направления u R н предел

с R существует как действительное число.

Таким образом, полудифференцируемость слабее, чем дифференцируемость Гато , для которой принимается предел выше h → 0, не ограничивая h только положительными значениями.

Например, функция является полудифференцируемым при , но там нет дифференцируемого Гато. Действительно, с

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для n = 1, поскольку понятие односторонних предельных точек заменяется более сильным понятием внутренних точек.)

Свойства [ править ]

  • Любая выпуклая функция на выпуклом открытом подмножестве R н является полудифференцируемым.
  • В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывна; это уже не так для нескольких переменных.

Обобщение [ править ]

Вместо вещественных функций можно рассматривать функции, принимающие значения в R. н или в банаховом пространстве .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Питер Р. Мерсер (2014). Подробнее об исчислении одной переменной . Спрингер. п. 173. ИСБН  978-1-4939-1926-0 .
  2. ^ Дирак, Поль (1982) [1930]. Принципы квантовой механики . США: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198520115 .
  • Преда, В.; Кицеску, И. (1999). «О квалификации ограничений в задачах многокритериальной оптимизации: полудифференцируемый случай». Дж. Оптим. Теория Прикл . 100 (2): 417–433. дои : 10.1023/А:1021794505701 . S2CID   119868047 .