Производная Дини

В математике и, в частности, реальном анализе , производные Дини (или производные Дини ) представляют собой класс обобщений производной . Их ввел Улиссе Дини , изучавший непрерывные, но недифференцируемые функции.

Верхняя производная Дини , которую еще называют верхней правой производной , ^[1] непрерывной функции

f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} },

обозначается $f' +$ и определяется формулой

f'_{+}(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},

где $lim sup$ — верхний предел , а предел — односторонний предел . Нижняя производная Дини , $f' -$ , определяется формулой

f'_{-}(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(t-h)}{h}},

где $lim inf$ — нижний предел .

Если $f$ определено в векторном пространстве , то верхняя производная Дини в точке $t$ в направлении $d$ определяется формулой

f'_{+}(t,d)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.

Если $f$ липшицева локально , то $f' +$ конечна. Если $f$ дифференцируема в точке $t$ , то производная Дини в точке $t$ является обычной производной в точке $t$ .

Замечания [ править ]

Функции определяются в терминах нижней и верхней граней , чтобы сделать производные Дини максимально «пуленепробиваемыми», чтобы производные Дини были четко определены почти для всех функций, даже для функций, которые не являются традиционно дифференцируемыми. Результат анализа Дини заключается в том, что функция дифференцируема в точке $t$ на действительной прямой ( $ℝ$ ), только если все производные Дини существуют и имеют одинаковое значение.

Иногда обозначение $D + f (t)$ используется вместо $f' + (t)$ и $D - f (t)$ используется вместо $f' - (t)$ . ^[1]
Также,

D^{+}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

и

D_{-}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(t-h)}{h}}

.

Таким образом, при использовании $обозначения D$ для производных Дини знак плюс или минус указывает левый или правый предел, а расположение знака указывает нижний или верхний предел.

Есть еще две производные Дини, определяемые как

D_{+}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

и

D^{-}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(t-h)}{h}}

.

которые такие же, как и первая пара, но с перевернутыми верхней и нижней сторонами . Только для функций с умеренно плохим поведением две дополнительные производные Дини не нужны. Для функций с особенно плохим поведением, если все четыре производные Дини имеют одинаковое значение ( $D^{+}f(t)=D_{+}f(t)=D^{-}f(t)=D_{-}f(t)$ ) то функция $f$ дифференцируема в обычном смысле в точке $t$ .

В расширенных реалах каждая из производных Дини всегда существует; они могут принимать значения $+\infty$ или $-\infty$ однако иногда (т. е. производные Дини всегда существуют в расширенном смысле).

См. также [ править ]

Теорема Данжуа – Янга – Сакса - Математическая теорема о производных Дини.
Производная (обобщения) — фундаментальная конструкция дифференциального исчисления.
Полудифференцируемость

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 0-13-067389-7 .

Лукашенко Т.П. (2001) [1994], «Производная Дини» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
Ройден, Х.Л. (1968). Реальный анализ (2-е изд.). Макмиллан. ISBN 978-0-02-404150-0 .
Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный реальный анализ . ClassicalRealAnasis.com [первое издание опубликовано Prentice Hall в 2001 году]. стр. 301–302. ISBN 978-1-4348-4161-2 .

Эта статья включает в себя материал из производной версии Dini от PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Khalil02-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 0-13-067389-7 .

[1]