Полурефлексивное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , полурефлексивное пространство представляет собой локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) X такое, что каноническое отображение оценки из X в его бидуальное пространство (которое является сильным двойственным X ) является биективным .Если это отображение также является изоморфизмом ТВС, то оно называется рефлексивным .

Полурефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых ТВС.Поскольку нормируемая ТВС является полурефлексивной тогда и только тогда, когда она рефлексивна, понятие полурефлексивности в основном используется с ТВС, которые не являются нормируемыми.

Определение и обозначения

Краткое определение

Предположим, что X — топологическое векторное пространство (ТВП) над полем $\mathbb {F}$ (которые являются либо действительными, либо комплексными числами), чье непрерывное двойственное пространство , $X^{\prime }$, разделяет точки на X (т.е. для любого $x\in X$ существует какой-то $x^{\prime }\in X^{\prime }$ такой, что $x^{\prime }(x)\neq 0$).Позволять $X_{b}^{\prime }$ и $X_{\beta }^{\prime }$ оба обозначают сильный двойственный элемент X , который является векторным пространством $X^{\prime }$ непрерывных линейных функционалов на X, топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X наделенных ;эта топология также называется сильной дуальной топологией и является топологией «по умолчанию», размещенной в непрерывном дуальном пространстве (если не указана другая топология).Если X — нормированное пространство, то сильным двойственным к X является непрерывное двойственное пространство. $X^{\prime }$ со своей обычной нормальной топологией.Бидуал ​ X , обозначаемый $X^{\prime \prime }$, является сильным двойником $X_{b}^{\prime }$; то есть это пространство $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$.

Для любого $x\in X,$ позволять $J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F}$ определяться $J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)$, где $J_{x}$ называется оценочной картой в точке x ;с $J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ обязательно непрерывен, отсюда следует, что $J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$.С $X^{\prime }$ разделяет точки на X , карта $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ определяется $J(x):=J_{x}$ является инъективным, где это отображение называется оценочным или каноническим отображением .Эта карта была представлена ​​Гансом Ханом в 1927 году.

Мы называем X полурефлексивным, если $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ является биективным (или, что то же самое, сюръективным ), и мы называем X рефлексивным, если, кроме того, $J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ является изоморфизмом TVS. Если X — нормированное пространство, то J — TVS-вложение, а также изометрия на его диапазон;более того, по теореме Голдстайна (доказанной в 1938 г.), диапазон J представляет собой плотное подмножество бидуального $\left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)$. Нормированное пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда оно полурефлексивно.Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-компактный.

Подробное определение

Пусть X — топологическое векторное пространство над числовым полем. $\mathbb {F}$ ( действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$).Рассмотрим его сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$, состоящий из всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to \mathbb {F}$ и оснащен сильной топологией $b\left(X^{\prime },X\right)$, то есть топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в X .Пространство $X_{b}^{\prime }$ является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассматривать его сильное двойственное пространство $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$, которое называется сильным бидуальным пространством для X .Он состоит из всехнепрерывные линейные функционалы $h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }$ и оснащен сильной топологией $b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)$.Каждый вектор $x\in X$ генерирует карту $J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ по следующей формуле:

$$J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.$$

Это непрерывный линейный функционал на $X_{b}^{\prime }$, то есть, $J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$.Получается карта, называемая картой оценки или канонической инъекцией :

$$J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$$

что представляет собой линейную карту.Если X локально выпукло, из теоремы Хана–Банаха следует, что J инъективен и открыт (т. е. для каждой окрестности нуля $U$ в X существует окрестность нуля V в $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ такой, что $J(U)\supseteq V\cap J(X)$).Но оно может быть несюръективным и/или прерывистым.

Локально выпуклое пространство $X$ называется полурефлексивным, если отображение оценки $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ является сюръективным (следовательно, биективным); оно называется рефлексивным, если оценочное отображение $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ сюръективен и непрерывен, и в этом случае J будет изоморфизмом TVS ).

Характеризации полурефлексивных пространств

Если X — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

1. X полурефлексивен;
2. слабая топология на X обладала свойством Гейне-Бореля (т. е. для слабой топологии $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$, каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X_{\sigma }$ слабо компактен).
3. Если линейная форма на $X^{\prime }$ это непрерывно, когда $X^{\prime }$ имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда $X^{\prime }$ имеет слабую топологию;
4. $X_{\tau }^{\prime }$ имеет ствол , где $\tau$ указывает топологию Макки на $X^{\prime }$;
5. X слабая слабая топология $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ является квазиполным .

Теорема — Локально выпуклое Хаусдорфово пространство. $X$ полурефлексивно тогда и только тогда, когда $X$ с $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$-топология обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества $X$ слабо компактны).

Достаточные условия

Всякое полумонтелевское пространство полурефлексивно, и всякое монтелевское пространство рефлексивно.

Характеристики

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то каноническая инъекция из $X$ в свой бидуал является топологическим вложением тогда и только тогда, когда $X$ является инфраствольным.

Сильный дуал полурефлексивного пространства — бочкообразный . Всякое полурефлексивное пространство квазиполно . Каждое полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. Сильный дуал полурефлексивного пространства — бочкообразный.

Рефлексивные пространства

Основная статья: Рефлексивное пространство

Если X — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

1. X рефлексивен ​ ;
2. X полурефлексивный и бочкообразный ;
3. X является бочоночным, и слабая топология на X обладает свойством Гейне-Бореля (это означает, что для слабой топологии $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$, каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X_{\sigma }$ слабо компактен).
4. X полурефлексивный и квазибочковый .

Если X — нормированное пространство , то следующие условия эквивалентны:

1. X является рефлексивным;
2. замкнутый единичный шар компактен, когда X имеет слабую топологию $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$.
3. X — банахово пространство и $X_{b}^{\prime }$ является рефлексивным.

Примеры

Всякое нерефлексивное бесконечномерное банахово пространство является выделенным пространством , не являющимся полурефлексивным. Если $X$ является плотным собственным векторным подпространством рефлексивного банахова пространства, то $X$ — нормированное пространство, которое не полурефлексивно, но его сильное двойственное пространство является рефлексивным банаховым пространством. Существует полурефлексивное счетнобочечное пространство , которое не является бочоночным .

См. также

• Пространство Гротендика — обобщение, обладающее некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включающее множество пространств, имеющих практическое значение.
• Рефлексивная операторная алгебра
• Рефлексивное пространство

Библиография

• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  0030505356 .
• Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа , Springer, 1985.
• Джеймс, Роберт К. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. математики. Исследования, том. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Пресс, стр. 159–175 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Колмогоров А.Н.; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN.  0-387-98431-3 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .