Рефлексивная операторная алгебра

В функциональном анализе рефлексивная , операторная алгебра A — это операторная алгебра, имеющая достаточно инвариантных подпространств чтобы ее охарактеризовать. Формально A рефлексивно, если оно равно алгебре ограниченных операторов , которые оставляют инвариантным каждое подпространство, оставленное инвариантным каждым оператором из A .

Его не следует путать с рефлексивным пространством .

Примеры

Гнездовые алгебры являются примерами рефлексивных операторных алгебр. В конечных измерениях это просто алгебры всех матриц заданного размера, ненулевые элементы которых лежат в верхнем треугольном шаблоне.

Фактически, если мы зафиксируем любой набор элементов в матрице размера n на n , содержащей диагональ, то набор всех матриц размера n на n , чьи ненулевые элементы лежат в этом шаблоне, образует рефлексивную алгебру.

Примером нерефлексивной алгебры является набор матриц размера 2 × 2.

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}.

Эта алгебра меньше алгебры Неста.

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\ :\ a,b,c\in \mathbb {C} \right\}

но имеет те же инвариантные подпространства, поэтому не рефлексивно.

Если T — фиксированная матрица размера n на n , то набор всех полиномов из T и единичного оператора образует алгебру операторов с единицей. Теорема Дедденса и Филлмора утверждает, что эта алгебра рефлексивна тогда и только тогда, когда два крупнейших блока в жордановой нормальной форме различаются T по размеру не более чем на один. Например, алгебра

\left\{{\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}

который равен множеству всех полиномов из

T={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

и идентичность рефлексивна.

Гиперрефлексивность

Позволять ${\mathcal {A}}$ — слабая*-замкнутая операторная алгебра, содержащаяся в B ( H ), множестве всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H и для T любого оператора из B ( H ), пусть

\beta (T,{\mathcal {A}})=\sup \left\{\left\|P^{\perp }TP\right\|\ :\ P{\mbox{ is a projection and }}P^{\perp }{\mathcal {A}}P=(0)\right\}.

Заметим, что P — проекция, участвующая в этой супремуме, именно в том случае, если образ P является инвариантным подпространством ${\mathcal {A}}$ .

Алгебра ${\mathcal {A}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого T в B ( H ):

\beta (T,{\mathcal {A}})=0{\mbox{ implies that }}T{\mbox{ is in }}{\mathcal {A}}.

Заметим, что для любого T из B(H) выполняется следующее неравенство:

\beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).

Здесь ${\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})$ — это расстояние T от алгебры, а именно наименьшая норма оператора TA , где A пробегает алгебру. Мы звоним ${\mathcal {A}}$ гиперрефлексивным , если существует константа K такая, что для каждого оператора T в B ( H )

{\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).

Наименьшее такое K называется константой расстояния для ${\mathcal {A}}$ . Гиперрефлексивная операторная алгебра автоматически рефлексивна.

В случае рефлексивной алгебры матриц с ненулевыми элементами, заданными заданным шаблоном, проблему нахождения константы расстояния можно перефразировать как задачу заполнения матрицы: если мы заполним элементы дополнения шаблона произвольными элементами, какой выбор записей в шаблоне дает наименьшую норму оператора?

Примеры

Любая конечномерная рефлексивная алгебра гиперрефлексивна. Однако существуют примеры бесконечномерных рефлексивных операторных алгебр, которые не являются гиперрефлексивными.
Константа расстояния для одномерной алгебры равна 1.
Гнездовые алгебры гиперрефлексивны с константой расстояния 1.
Многие алгебры фон Неймана гиперрефлексивны, но неизвестно, все ли они гиперрефлексивны.
гиперрефлексивна Алгебра фон Неймана типа I с константой расстояния не более 2.

См. также

Ссылки

Уильям Арвесон, Десять лекций по операторным алгебрам , ISBN 0-8218-0705-6
Х. Раджави, П. Розенталь, Инвариантные подпространства , ISBN 0-486-42822-2