Гнездовая алгебра

В функциональном анализе , разделе математики, гнездовые алгебры представляют собой класс операторных алгебр , которые обобщают верхнетреугольные матричные алгебры на контекст гильбертова пространства . Они были представлены Рингроузом ( 1965 ) и обладают многими интересными свойствами. Они являются несамосопряженными алгебрами, замкнуты в слабой операторной топологии и рефлексивны .

Гнездовые алгебры являются одними из простейших примеров коммутативных решетчатых алгебр подпространств . Действительно, они формально определяются как алгебра ограниченных операторов, оставляющая инвариантным каждое подпространство, содержащееся в гнезде подпространств , то есть набор подпространств, который полностью упорядочен по включению и также является полной решеткой . Поскольку ортогональные проекции, соответствующие подпространствам в гнезде , коммутируют , гнезда представляют собой коммутативные решетки подпространств.

В качестве примера применим это определение для восстановления конечномерных верхнетреугольных матриц. Давайте работать в $n$ - размерное комплексное векторное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ , и пусть $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ быть стандартной основой . Для $j=0,1,2,\dots ,n$ , позволять $S_{j}$ быть $j$ -мерное подпространство $\mathbb {C} ^{n}$ охватываемый первым $j$ базисные векторы $e_{1},\dots ,e_{j}$ . Позволять

N=\{(0)=S_{0},S_{1},S_{2},\dots ,S_{n-1},S_{n}=\mathbb {C} ^{n}\};

тогда N является гнездом подпространства, а соответствующая алгебра гнезда размера n × n комплексных матриц M оставляет каждое подпространство в N инвариантным, то есть удовлетворяющим $MS\subseteq S$ для каждого S из N – это в точности набор верхнетреугольных матриц.

Если мы опустим одно или несколько подпространств S _j из N , то соответствующая гнездовая алгебра будет состоять из блочных верхнетреугольных матриц.

Характеристики

Гнездовые алгебры гиперрефлексивны с константой расстояния 1.

См. также

флаговый коллектор

Ссылки

Рингроуз, Джон Р. (1965), «О некоторых алгебрах операторов», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 15 : 61–83, doi : 10.1112/plms/s3-15.1.61 , ISSN 0024-6115 , МР 0171174