Асплундское пространство

В математике , в частности, в функциональном анализе , пространство Асплунда или пространство сильной дифференцируемости является типом с хорошим поведением банахова пространства . Пространства Асплунда были введены в 1968 году математиком Эдгаром Асплундом , который интересовался дифференцируемости по Фреше свойствами липшицевых функций в банаховых пространствах.

Эквивалентные определения

Существует множество эквивалентных определений того, что означает, что банахово пространство X является пространством Асплунда :

• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждое сепарабельное подпространство Y в X имеет сепарабельное непрерывное двойственное пространство Y ^∗ .
• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждая непрерывная выпуклая функция на любом открытом выпуклом подмножестве U в X дифференцируема по Фреше в точках плотного G _δ -подмножества в U .
• X является Асплундом тогда и только тогда, когда его двойственное пространство X ^∗ обладает свойством Радона–Никодима . Этот отель был основан компаниями Namioka & Phelps в 1975 году и Stegall в 1978 году.
• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждое непустое ограниченное подмножество сопряженного к нему пространства X ^∗ имеет слабые*-срезы сколь угодно малого диаметра.
• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждое непустое слабо∗ -компактное выпуклое подмножество двойственного пространства X ^∗ является слабо* замкнутой выпуклой оболочкой своих слабо* сильно обнаженных точек . В 1975 году Хафф и Моррис показали, что это свойство эквивалентно утверждению, что каждое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество дуального пространства X ^∗ есть замкнутая выпуклая оболочка ее крайних точек.

Свойства пространств Асплунда

• Класс пространств Асплунда замкнут относительно топологических изоморфизмов: то есть, если и Y — пространства, X — Асплунд, а X гомеоморфен X Y банаховы , то Y — также пространство Асплунда.
• Каждое замкнутое линейное подпространство пространства Асплунда является пространством Асплунда.
• Каждое факторпространство пространства Асплунда является пространством Асплунда.
• Класс пространств Асплунда замкнут относительно расширений: если X — банахово пространство, а Y — подпространство Асплунда в X , для которого фактор-пространство X ⁄ Y является Асплундом, то X является Асплундом.
• Любая локально липшицева функция на открытом подмножестве пространства Асплунда дифференцируема по Фреше в точках некоторого плотного подмножества ее области определения. Этот результат был установлен Прейссом в 1990 году и имеет приложения в теории оптимизации.
• Следующая теорема из оригинальной статьи Асплунда 1968 года является хорошим примером того, почему пространства, не относящиеся к Асплунду, ведут себя плохо: если X не является пространством Асплунда, то существует эквивалентная норма на X , которая не может быть дифференцируемой по Фреше в каждой точке X .
• В 1976 году Экланд и Лебур показали, что если X — банахово пространство, имеющее эквивалентную норму, дифференцируемую по Фреше от начала координат, то X — пространство Асплунда. Однако в 1990 году Хейдон привел пример пространства Асплунда, которое не имеет эквивалентной нормы, дифференцируемой по Гато от начала координат.

Ссылки

• Асплунд, Эдгар (1968). «Дифференцируемость по Фреше выпуклых функций» . Акта Математика . 121 : 31–47. дои : 10.1007/bf02391908 . ISSN   0001-5962 . МР   0231199 .
• Экеланд, Ивар; Лебур, Жерар (1976). «Общая дифференцируемость по Фреше и возмущенные задачи оптимизации в банаховых пространствах» . Труды Американского математического общества . 224 (2): 193–216 (1977). дои : 10.1090/s0002-9947-1976-0431253-2 . ISSN   0002-9947 . МР   0431253 .
• Хейдон, Ричард (1990). «Контрпример к нескольким вопросам о рассеянных компактах». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (3): 261–268. дои : 10.1112/blms/22.3.261 . ISSN   0024-6093 . МР   1041141 .
• Хафф, RE; Моррис, П.Д. (1975). «Двойственные пространства со свойством Крейна – Мильмана обладают свойством Радона – Никодима» . Труды Американского математического общества . 49 : 104–108. дои : 10.1090/s0002-9939-1975-0361775-9 . ISSN   0002-9939 . МР   0361775 .
• Намиока, И .; Фелпс, Р.Р. (1975). «Банаховые пространства, являющиеся пространствами Асплунда». Математический журнал Дьюка . 42 (4): 735–750. дои : 10.1215/s0012-7094-75-04261-1 . hdl : 10338.dmlcz/127336 . ISSN   0012-7094 . МР   0390721 .
• Прейсс, Дэвид (1990). «Дифференцируемость липшицевых функций в банаховых пространствах». Журнал функционального анализа . 91 (2): 312–345. дои : 10.1016/0022-1236(90)90147-D . ISSN   0022-1236 . МР   1058975 .
• Стегалл, Чарльз (1978). «Двойственность пространств Асплунда и пространств со свойством Радона – Никодима». Израильский математический журнал . 29 (4): 408–412. дои : 10.1007/bf02761178 . ISSN   0021-2172 . МР   0493268 .