Плотно определенный оператор

В математике , в частности, в теории операторов , плотно определенный оператор или частично определенный оператор представляет собой тип частично определенной функции . В топологическом смысле это линейный оператор , определенный «почти всюду». Плотно определенные операторы часто возникают в функциональном анализе как операции, которые хотелось бы применить к более широкому классу объектов, чем те, для которых они априори «имеют смысл».

Определение

оператор Плотно определенный линейный $T$ из одного топологического векторного пространства , $X,$ к другому, $Y,$ — линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве $\operatorname {dom} (T)$ из $X$ и принимает значения в $Y,$ написано $T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.$ Иногда это сокращается как $T:X\to Y$ когда из контекста становится ясно, что $X$ может не быть теоретико- областью множественной $T.$

Примеры

Рассмотрим пространство $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ всех действительных , непрерывных функций определенных на единичном интервале; позволять $C^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ обозначим подпространство, состоящее из всех непрерывно дифференцируемых функций . Оборудовать $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ с высшей нормой $\|\,\cdot \,\|_{\infty }$; это делает $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ в настоящее банахово пространство . Оператор дифференцирования $D$ данный

$$(\mathrm {D} u)(x)=u'(x)$$

является плотно определенным оператором из $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ самому себе, определенному на плотном подпространстве $C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).$ Оператор $\mathrm {D}$ является примером неограниченного линейного оператора , поскольку

$$u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.$$

Эта неограниченность вызывает проблемы, если кто-то хочет каким-то образом непрерывно расширить оператор дифференцирования. $D$ всему $C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).$

С другой стороны, интеграл Пэли -Винера является примером непрерывного расширения плотно определенного оператора. В любом абстрактном винеровском пространстве $i:H\to E$ с присоединенным $j:=i^{*}:E^{*}\to H,$ существует естественный непрерывный линейный оператор (фактически он является включением и является изометрией ) из $j\left(E^{*}\right)$ к $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),$ согласно которому $j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H$ переходит в класс эквивалентности $[f]$ из $f$ в $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).$ Можно показать, что $j\left(E^{*}\right)$ плотный в $H.$ Поскольку указанное выше включение непрерывно, существует единственное непрерывное линейное расширение $I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ включения $j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ всему $H.$ Это расширение представляет собой карту Пэли – Винера.

См. также

• Теорема Блюмберга . Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.
• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Линейное расширение (линейная алгебра) — математическая функция в линейной алгебре. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Частичная функция - функция, фактическая область определения которой может быть меньше, чем ее кажущаяся область определения.

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xiv+434. ISBN  0-387-00444-0 . МР   2028503 .