Теорема Гельфанда–Мазура.

В теории операторов теорема Гельфанда -Мазура — это теорема, названная в честь Израиля Гельфанда и Станислава Мазура , которая утверждает, что банахова алгебра с единицей над комплексными числами , в которой каждый ненулевой элемент обратим изоморфна изометрически , комплексным числам , т.е. т. е. единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, — это комплексные числа C .

Теорема следует из того, что спектр любого элемента комплексной банаховой алгебры непуст: для каждого элемента a комплексной банаховой алгебры A существует некоторое комплексное число λ такое, что λ 1 − a не обратимо. Это является следствием комплексной аналитичности резольвентной функции. По предположению λ 1 − a = 0. Итак, a = λ · 1. Это дает изоморфизм A в C .

Теорему можно усилить до утверждения, что существует (с точностью до изоморфизма) ровно три действительные банаховы тела алгебры: поле вещественных чисел R поле комплексных чисел C и тело кватернионов H. , Этот результат первым доказал один Станислав Мазур, но был опубликован во Франции без доказательства, когда автор отказался от просьбы редактора сократить доказательство. Несколько лет спустя Гельфанд (независимо) опубликовал доказательство сложного случая.

Ссылки

• Бонсолл, Фрэнк Ф.; Дункан, Джон (1973). Полные нормированные алгебры . Спрингер. стр. 71–4. дои : 10.1007/978-3-642-65669-9 . ISBN  978-3-642-65671-2 .

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .