Shilov boundary

В функциональном анализе граница Шилова — это наименьшее замкнутое подмножество структурного пространства коммутативной банаховой алгебры , где справедлив аналог принципа максимума модуля . Назван в честь своего первооткрывателя Георгия Евгеньевича Шилова .

Точное определение и существование

Позволять ${\mathcal {A}}$ — коммутативная банахова алгебра и пусть $\Delta {\mathcal {A}}$ быть его структурным пространством, относительной слабой *-топологией двойственной снабженным ${\mathcal {A}}^{*}$. Закрытое (в данной топологии) подмножество $F$ из $\Delta {\mathcal {A}}$ называется границей ​ ${\mathcal {A}}$ если ${\textstyle \max _{f\in \Delta {\mathcal {A}}}|f(x)|=\max _{f\in F}|f(x)|}$ для всех $x\in {\mathcal {A}}$.Набор ${\textstyle S=\bigcap \{F:F{\text{ is a boundary of }}{\mathcal {A}}\}}$ называется границей Шилова . Это доказал Шилов. что $S$ является границей ${\mathcal {A}}$.

Таким образом, можно также сказать, что граница Шилова — это единственное множество $S\subset \Delta {\mathcal {A}}$ который удовлетворяет

1. $S$ является границей ${\mathcal {A}}$, и
2. в любое время $F$ является границей ${\mathcal {A}}$, затем $S\subset F$.

Примеры

Позволять $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ — открытый единичный диск в комплексной плоскости и пусть ${\mathcal {A}}=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap {\mathcal {C}}({\bar {\mathbb {D} }})$ — дисковая алгебра , т.е. функции, голоморфные в $\mathbb {D}$ и непрерывный при закрытии ​ $\mathbb {D}$ с супремумной нормой и обычными алгебраическими операциями. Затем $\Delta {\mathcal {A}}={\bar {\mathbb {D} }}$ и $S=\{|z|=1\}$.

Ссылки

• «Граница Бергмана-Шилова» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

См. также

• Граница Джеймса
• Граница Фюрстенберга