Дискретный спектр (математика)

В математике, в частности в спектральной теории , дискретный спектр замкнутого линейного оператора определяется как множество изолированных точек его спектра таких, что ранг соответствующего проектора Рисса конечен.

Определение

точка $\lambda \in \mathbb {C}$в спектре $\sigma (A)$ замкнутого линейного оператора $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$ с доменом ${\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}$ говорят, что он принадлежит дискретному спектру $\sigma _{\mathrm {disc} }(A)$ из $A$ если выполняются следующие два условия:

1. $\lambda$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$;
2. Ранг проектора соответствующего Рисса $P_{\lambda }={\frac {-1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,dz$ конечно.

Здесь $I_{\mathfrak {B}}$ — тождественный оператор в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$ и $\Gamma \subset \mathbb {C}$ представляет собой гладкую простую замкнутую кривую, ориентированную против часовой стрелки, ограничивающую открытую область. $\Omega \subset \mathbb {C}$ такой, что $\lambda$ единственная точка спектра $A$ в закрытии $\Omega$; то есть, $\sigma (A)\cap {\overline {\Omega }}=\{\lambda \}.$

Отношение к нормальным собственным значениям

Дискретный спектр $\sigma _{\mathrm {disc} }(A)$ совпадает с множеством нормальных собственных значений $A$:

$\sigma _{\mathrm {disc} }(A)=\{{\mbox{normal eigenvalues of }}A\}.$

Связь с изолированными собственными значениями конечной алгебраической кратности

В общем случае ранг проектора Рисса может быть больше размерности корневого линеала ${\mathfrak {L}}_{\lambda }$ соответствующего собственного значения, и, в частности, можно иметь $\mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty$, $\mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty$. Итак, имеется следующее включение:

$\sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.$

В частности, для квазинильпотентного оператора

$Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),$

у одного есть ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}$, $\mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty$, $\sigma (Q)=\{0\}$, $\sigma _{\mathrm {disc} }(Q)=\emptyset$.

Связь с точечным спектром

Дискретный спектр $\sigma _{\mathrm {disc} }(A)$ оператора $A$ не следует путать с точечным спектром $\sigma _{\mathrm {p} }(A)$, который определяется как набор собственных значений $A$.Хотя каждая точка дискретного спектра принадлежит точечному спектру,

$\sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A),$

обратное не обязательно верно: точечный спектр не обязательно состоит из изолированных точек спектра, как видно на примере оператора сдвига влево , $L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ).$Для этого оператора точечный спектр представляет собой единичный круг комплексной плоскости, спектр — замыкание единичного круга, а дискретный спектр пуст:

$\sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}};\qquad \sigma _{\mathrm {disc} }(L)=\emptyset .$

См. также

• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Нормальное собственное значение
• Основной спектр
• Спектр оператора
• Резольвентный формализм
• Рисс-проектор
• Фредгольмский оператор
• Теория операторов