Нормальное собственное значение

В математике, в частности в спектральной теории , собственное значение замкнутого линейного оператора называется нормальным , если пространство допускает разложение в прямую сумму конечномерного обобщенного собственного пространства и инвариантного подпространства , где $A-\lambda I$ имеет ограниченный обратный. Набор нормальных собственных значений совпадает с дискретным спектром .

Корневой линейный

Позволять ${\mathfrak {B}}$ быть банаховым пространством . Корневой линеал ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ линейного оператора $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ с доменом ${\mathfrak {D}}(A)$ соответствующее собственному значению $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ определяется как

${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},$

где $I_{\mathfrak {B}}$ является оператором идентификации в ${\mathfrak {B}}$. Это множество является линейным многообразием , но не обязательно векторным пространством , поскольку оно не обязательно замкнуто в ${\mathfrak {B}}$. Если это множество замкнуто (например, конечномерно), оно называется обобщенным собственным пространством $A$ соответствующее собственному значению $\lambda$.

Определение нормального собственного значения

собственное значение $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ замкнутого линейного оператора $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$ с доменом ${\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}$ называется нормальным (в оригинальной терминологии $\lambda$ соответствует нормально расщепляющемуся конечномерному корневому подпространству ), если выполняются следующие два условия:

1. Алгебраическая кратность ​ $\lambda$ конечно: $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty$, где ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ является корневым линеалом $A$ соответствующее собственному значению $\lambda$;
2. Пространство ${\mathfrak {B}}$ можно разложить в прямую сумму ${\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }$, где ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ является инвариантным подпространством $A$ в котором $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ имеет ограниченный обратный.

То есть ограничение $A_{2}$ из $A$ на ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ это оператор с доменом ${\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)$ и с диапазоном ${\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }$ который имеет ограниченный обратный.

Эквивалентные характеристики нормальных собственных значений

Позволять $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ — замкнутый линейный плотно определенный оператор в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$. Следующие утверждения эквивалентны (Теорема III.88):

1. $\lambda \in \sigma (A)$ – нормальное собственное значение;
2. $\lambda \in \sigma (A)$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$ и $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ ледяной полуфредгольмский ;
3. $\lambda \in \sigma (A)$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$ и $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ это Фредхольм ;
4. $\lambda \in \sigma (A)$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$ и $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ является Фредгольмом нулевого индекса;
5. $\lambda \in \sigma (A)$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$ и ранг соответствующего проектора Рисса $P_{\lambda }$ конечен;
6. $\lambda \in \sigma (A)$ является изолированной точкой в $\sigma (A)$, его алгебраическая кратность $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ конечен, а диапазон $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ закрыто ​ .

Если $\lambda$ является нормальным собственным значением, то корневой линеал ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ совпадает с дальностью действия проектора Рисса, ${\mathfrak {R}}(P_{\lambda })$.

Связь с дискретным спектром

Приведенная выше эквивалентность показывает, что множество нормальных собственных значений совпадает с дискретным спектром , определяемым как множество изолированных точек спектра с конечным рангом соответствующего проектора Рисса.

Разложение спектра несамосопряженных операторов

Спектр закрытого оператора $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ в банаховом пространстве ${\mathfrak {B}}$ можно разложить на объединение двух непересекающихся множеств, набора нормальных собственных значений и пятого типа существенного спектра :

$\sigma (A)=\{{\text{normal eigenvalues of}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).$

См. также

• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Дискретный спектр (математика)
• Основной спектр
• Фредгольмский оператор
• Теория операторов
• Резольвентный формализм
• Рисс-проектор
• Спектр (функциональный анализ)
• Спектр оператора