Основной спектр

В математике существенный спектр ограниченного оператора (или, в более общем плане, плотно определенного замкнутого линейного оператора ) — это определенное подмножество его спектра , определяемое условием типа, говорящего, грубо говоря, «совершенно не может быть обратимый".

Существенный спектр самосопряженных операторов

Формально, пусть X — гильбертово пространство а T — самосопряженный оператор на X. ,

Определение

Существенный спектр T T , обычно обозначаемый σ _ess ( что ), представляет собой набор всех комплексных чисел λ таких,

$T-\lambda I_{X}$

не является оператором Фредгольма , где $I_{X}$ обозначает тождественный оператор на X , так что $I_{X}(x)=x$ для x в X. всех (Оператор является фредгольмовым, если его ядро ​​и коядро конечномерны.)

Характеристики

Существенный спектр всегда замкнут и является подмножеством спектра . Поскольку T самосопряженный, спектр лежит на вещественной оси.

Существенный спектр инвариантен относительно компактных возмущений. То есть, если K — компактный самосопряженный оператор на X , то существенные спектры T и спектра $T+K$ совпадают. Это объясняет, почему его называют существенным спектром: Вейль (1910) первоначально определил существенный спектр некоторого дифференциального оператора как спектр, не зависящий от граничных условий.

Критерий Вейля заключается в следующем. Во-первых, число λ находится в тогда и спектре T только тогда, когда существует последовательность {ψ _k } в пространстве X такая, что $\Vert \psi _{k}\Vert =1$ и

$\lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0.$

Более того, λ находится в существенном спектре, если существует последовательность, удовлетворяющая этому условию, но такая, что она не содержит сходящейся подпоследовательности (это тот случай, если, например, $\{\psi _{k}\}$ – ортонормированная последовательность); такая последовательность называется сингулярной последовательностью .

Дискретный спектр

Существенный спектр является подмножеством спектра σ, а его дополнение называется дискретным спектром , поэтому

$\sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).$

Если T самосопряжено, то по определению число λ находится в дискретном спектре T , если оно является изолированным собственным значением конечной кратности, а это означает, что размерность пространства

$\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}$

имеет конечную, но ненулевую размерность и что существует ε > 0 такое, что µ ∈ σ( T ) и |µ−λ| < ε подразумевают, что µ и λ равны.(Для общих несамосопряженных операторов в банаховых пространствах по определению число $\lambda$ находится в дискретном спектре, если это нормальное собственное значение ; или, что то же самое, если это изолированная точка спектра и ранг соответствующего проектора Рисса конечен.)

Существенный спектр замкнутых операторов в банаховых пространствах

Пусть X — банахово пространство. и пусть $T:\,X\to X$ — замкнутый линейный оператор на X с плотной областью определения $D(T)$. Существует несколько определений существенного спектра, которые не эквивалентны.

1. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$ — это множество всех λ таких, что $T-\lambda I_{X}$ не является полуфредгольмовым (оператор является полуфредгольмовым, если его образ замкнут, а его ядро ​​или коядро конечномерно).
2. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)$ - это набор всех λ таких, что диапазон значений $T-\lambda I_{X}$ не закрыто или ядро $T-\lambda I_{X}$ является бесконечномерным.
3. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)$ — это множество всех λ таких, что $T-\lambda I_{X}$ не является фредгольмовым (оператор является фредгольмовым, если его образ замкнут и его ядро ​​и коядро конечномерны).
4. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)$ — это множество всех λ таких, что $T-\lambda I_{X}$ не является фредгольмовым с нулевым индексом (индексом фредгольмова оператора является разность между размерностью ядра и размерностью коядра).
5. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)$ является объединением σ _ess,1 ( T ) со всеми компонентами $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$ не пересекающиеся с резольвентным множеством $\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$.

Каждый из определенных выше основных спектров $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)$, $1\leq k\leq 5$, закрыто. Более того,

$\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbb {C} ,$

и любое из этих включений может быть строгим. Для самосопряженных операторов все приведенные выше определения существенного спектра совпадают.

Определим радиус существенного спектра формулой

$r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}.$

Хотя спектры могут быть разными, радиус одинаков для всех k .

Определение набора $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)$ эквивалентно критерию Вейля: $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)$ — множество всех λ, для которых существует сингулярная последовательность.

Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)$ инвариантен относительно компактных возмущений для k = 1,2,3,4, но не для k = 5.Набор $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)$ дает ту часть спектра, которая не зависит от компактных возмущений, т.е.

$\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (T+K),$

где $B_{0}(X)$ обозначает множество компактных операторов на X (Д.Э. Эдмундс и В.Д. Эванс, 1987).

Спектр замкнутого плотно определенного оператора T можно разложить в непересекающееся объединение

$\sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\bigsqcup \sigma _{\mathrm {d} }(T)$,

где $\sigma _{\mathrm {d} }(T)$ — спектр T . дискретный

См. также

• Спектр (функциональный анализ)
• Резольвентный формализм
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Дискретный спектр (математика)
• Спектр оператора
• Теория операторов
• Теория Фредгольма

Ссылки

Самосопряженный случай обсуждается в

• Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики: функциональный анализ , том. 1, Сан-Диего: Academic Press, ISBN.  0-12-585050-6
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5 .

Обсуждение спектра общих операторов можно найти в

• Д. Е. Эдмундс и В. Д. Эванс (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Oxford University Press. ISBN   0-19-853542-2 .

Первоначальное определение существенного спектра восходит к

• Х. Вейль (1910), Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с особенностями и связанных с ними разработках произвольных функций, Mathematical Annals 68 , 220–269.