Неравенство Рэлея – Фабера – Крана.

В спектральной геометрии неравенство Рэлея -Фабера-Крана , названное в честь его выдвинувшего гипотезу лорда Рэлея и двух лиц, независимо доказавших эту гипотезу, Г. Фабера и Эдгара Крана , представляет собой неравенство, касающееся наименьшего собственного значения Дирихле оператора Лапласа на ограниченная область в $\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 2$. В нем говорится, что первое собственное значение Дирихле не меньше соответствующего собственного значения Дирихле евклидова шара того же объема. Более того, неравенство является жестким в том смысле, что если первое собственное значение Дирихле равно значению соответствующего шара, то область фактически должна быть шаром. В случае $n=2$, неравенство по сути означает, что среди всех барабанов одинаковой площади круглый барабан (единственно) имеет самый низкий голос.

В более общем смысле, неравенство Фабера – Крана справедливо в любом римановом многообразии , в котором выполнено изопериметрическое неравенство . В частности, согласно гипотезе Картана–Адамара , оно должно выполняться во всех односвязных многообразиях неположительной кривизны.

См. также

• Слышать форму барабана