Гиперкомплексный анализ

В математике гиперкомплексный анализ представляет собой расширение комплексного анализа на гиперкомплексные числа . Первый экземпляр — это функции переменной кватерниона , где аргументом является кватернион (в этом случае подполе гиперкомплексного анализа называется кватернионным анализом ). Второй пример включает в себя функции двигательной переменной , аргументы которых представляют собой расщепленные комплексные числа .

В математической физике существуют гиперкомплексные системы, называемые алгебрами Клиффорда . Изучение функций с аргументами из алгебры Клиффорда называется анализом Клиффорда .

Матрицу . можно считать гиперкомплексным числом Например, изучение функций вещественных 2 × 2 показывает, что топология пространства матриц размера гиперкомплексных чисел определяет теорию функций. Такие функции, как квадратный корень матрицы , матричная экспонента и логарифм матрицы, являются основными примерами гиперкомплексного анализа. Теория функций диагонализуемых матриц особенно прозрачна, поскольку они имеют собственные разложения . Предполагать $\textstyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i}$ где E _i - проекции . Тогда для любого многочлена $f$, $f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.$

Современная терминология «системы гиперкомплексных чисел» — это алгебра над действительными числами , а алгебры, используемые в приложениях, часто являются банаховыми алгебрами, поскольку последовательности Коши можно считать сходящимися . Затем теория функций обогащается последовательностями и рядами . В этом контексте расширение функций комплексной голоморфных переменной развивается как голоморфное функциональное исчисление . Гиперкомплексный анализ банаховых алгебр называется функциональным анализом .

См. также

• Джованни Баттиста Рицца

Ссылки

Источники

• Дэниел Алпей (редактор) (2006) Вейвлеты, многомасштабные системы и гиперкомплексный анализ , Springer, ISBN   9783764375881 .
• Энрике Рамирес де Арелланон (1998) Теория операторов для комплексного и гиперкомплексного анализа , Американское математическое общество (материалы конференции по результатам встречи в Мехико в декабре 1994 года).
• Дж. А. Эмануэлло (2015) Анализ функций расщепленных комплексных, мультикомплексных и расщепленных кватернионных переменных и связанных с ними конформных геометрий , доктор философии. Диссертация, Университет штата Флорида
• Сорин Д. Гал (2004) Введение в теорию геометрических функций гиперкомплексных переменных , Nova Science Publishers, ISBN   1-59033-398-5 .
• Р. Лавика, А.Г. О'Фаррелл и И. Шорт (2007) «Обратимые карты в группе кватернионных преобразований Мёбиуса», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 143:57–69.
• Ирен Сабадини и Франциск Соммен (ред.) (2011) Гиперкомплексный анализ и приложения , Математика Биркхаузера.
• Ирен Сабадини, Майкл В. Шапиро и Ф. Соммен (редакторы) (2009) Гиперкомплексный анализ , Биркхаузер ISBN   978-3-7643-9892-7 .
• Сабадини, Соммен, Струппа (ред.) (2012) Достижения в гиперкомплексном анализе , Springer.