Гиперкомплексный анализ

В математике гиперкомплексный анализ представляет собой расширение комплексного анализа на гиперкомплексные числа . Первый экземпляр — это функции переменной кватерниона , где аргументом является кватернион (в этом случае подполе гиперкомплексного анализа называется кватернионным анализом ). Второй пример включает в себя функции двигательной переменной , аргументы которых представляют собой расщепленные комплексные числа .

В математической физике существуют гиперкомплексные системы, называемые алгебрами Клиффорда . Изучение функций с аргументами из алгебры Клиффорда называется анализом Клиффорда .

Матрицу можно считать гиперкомплексным числом. Например, изучение функций вещественных матриц размера 2 × 2 показывает, что гиперкомплексных чисел топология пространства определяет теорию функций. Такие функции, как квадратный корень матрицы , матричная экспонента и логарифм матрицы, являются основными примерами гиперкомплексного анализа. ^[1] Теория функций диагонализируемых матриц особенно прозрачна, поскольку они имеют собственные разложения . ^[2] Предполагать $\textstyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i}$ где E _i - проекции . Тогда для любого многочлена $f$ , $f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.$

Современная терминология «системы гиперкомплексных чисел» — это алгебра над действительными числами , а алгебры, используемые в приложениях, часто являются банаховыми алгебрами, поскольку последовательности Коши можно считать сходящимися . Затем теория функций обогащается последовательностями и рядами . В этом контексте расширение голоморфных функций комплексной переменной развивается как голоморфное функциональное исчисление . Гиперкомплексный анализ банаховых алгебр называется функциональным анализом .

См. также [ править ]

Джованни Баттиста Рицца

Ссылки [ править ]

^ Феликс Гантмахер (1959) Теория матриц , два тома, переводчик: Курт Хирш , Chelsea Publishing , глава 5: функции матриц, глава 8: корни и логарифмы матриц
^ Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , т. 1, § 2.3, Диагонализуемые линейные операторы, страницы 78–81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 .

Источники [ править ]

Дэниел Алпей (редактор) (2006) Вейвлеты, многомасштабные системы и гиперкомплексный анализ , Springer, ISBN 9783764375881 .
Энрике Рамирес де Арельянон (1998) Теория операторов для комплексного и гиперкомплексного анализа , Американское математическое общество (материалы конференции по итогам встречи в Мехико в декабре 1994 года).
Дж. А. Эмануэлло (2015) Анализ функций расщепленных комплексных, мультикомплексных и расщепленных кватернионных переменных и связанных с ними конформных геометрий , доктор философии. Диссертация, Университет штата Флорида
Сорин Д. Гал (2004) Введение в теорию геометрических функций гиперкомплексных переменных , Nova Science Publishers, ISBN 1-59033-398-5 .
Р. Лавика, А.Г. О'Фаррелл и И. Шорт (2007) «Обратимые карты в группе кватернионных преобразований Мёбиуса», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 143:57–69.
Ирен Сабадини и Франциск Соммен (ред.) (2011) Гиперкомплексный анализ и приложения , Математика Биркхаузера.
Ирен Сабадини, Майкл В. Шапиро и Ф. Соммен (редакторы) (2009) Гиперкомплексный анализ , Биркхаузер ISBN 978-3-7643-9892-7 .
Сабадини, Соммен, Струппа (ред.) (2012) Достижения в гиперкомплексном анализе , Springer.

[1] Феликс Гантмахер (1959) Теория матриц , два тома, переводчик: Курт Хирш , Chelsea Publishing , глава 5: функции матриц, глава 8: корни и логарифмы матриц

[2] Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , т. 1, § 2.3, Диагонализуемые линейные операторы, страницы 78–81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 .

[1]

[2]