Переменная двигателя

В математике функция двигательной переменной — это функция с аргументами и значениями в плоскости расщепленных комплексных чисел , так же, как функции комплексной переменной включают обычные комплексные числа . Уильям Кингдон Клиффорд ввел термин «двигатель» для обозначения кинематического оператора в своем «Предварительном наброске бикватернионов» (1873 г.). Он использовал расщепленные комплексные числа для скаляров в своих расщепленных бикватернионах . Двигательная переменная используется здесь вместо сплит-комплексной переменной для благозвучия и традиции.

Например,

$f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.$

Функции двигательной переменной предоставляют контекст для расширения реального анализа и обеспечивают компактное представление отображений плоскости. Однако эта теория далеко не соответствует теории функций на обычной комплексной плоскости . Тем не менее, некоторые аспекты традиционного комплексного анализа имеют интерпретацию, даваемую с помощью двигательных переменных, и, в более общем смысле, гиперкомплексного анализа .

Элементарные функции

Пусть Д = $\{z=x+jy:x,y\in R\}$, расщепленная комплексная плоскость. Следующие примерные функции f имеют домен и диапазон в D :

Действие гиперболического версора $u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a$ объединяется с трансляцией для получения аффинного преобразования

$f(z)=uz+c\$. Когда c = 0, функция эквивалентна отображению сжатия .

Функция возведения в квадрат не имеет аналогов в обычной комплексной арифметике. Позволять

$f(z)=z^{2}\$ и обратите внимание, что $f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\$

В результате четыре квадранта преобразуются в один, тождественный компонент :

$U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}$.

Обратите внимание, что $zz^{*}=1\$ образует единичную гиперболу $x^{2}-y^{2}=1$. Таким образом, взаимность

$f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}$

предполагает гиперболу как кривую отсчета, в отличие от круга в C.

Линейные дробные преобразования

Используя понятие проективной прямой над кольцом проективная прямая P( D , формируется ). В конструкции используются однородные координаты с компонентами расщепленного комплексного числа. Проективная прямая P( D ) преобразуется дробно-линейными преобразованиями :

$[z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],$ иногда пишется

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$ при условии, что + d является единицей в D. cz

К элементарным дробно-линейным преобразованиям относятся

• гиперболические вращения ${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},$
• переводы ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},$ и
• инверсия ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

У каждого из них есть инверсия, а композиции заполняют группу дробно-линейных преобразований. Двигательная переменная характеризуется гиперболическим углом в своих полярных координатах, и этот угол сохраняется при дробно-линейных преобразованиях двигательной переменной так же, как круговой угол сохраняется при преобразованиях Мёбиуса обычной комплексной плоскости. Преобразования, сохраняющие углы, называются конформными , поэтому дробно-линейные преобразования являются конформными отображениями .

Преобразования, ограничивающие области, можно сравнивать: например, на обычной комплексной плоскости преобразование Кэли переносит верхнюю полуплоскость на единичный диск , тем самым ограничивая его. Отображение единичного компонента U ₁ из D в прямоугольник обеспечивает сравнимое ограничивающее действие:

$f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T$

где Т знак равно { z знак равно х + j y : | й | < х < 1 или | й | < 2 – x , когда 1 ≤ x <2}.

Для реализации дробно-линейных преобразований как биекций проективной прямой компактификация D. на используется См. раздел, приведенный ниже.

Опыт, журнал и квадратный корень

Показательная функция переносит всю плоскость D в U ₁ :

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x$.

Таким образом, когда x = b j, то e ^х является гиперболическим версором. Для общей переменной двигателя z = a + b j имеем

$e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\$.

В теории функций двигательной переменной особое внимание следует уделить функциям квадратного корня и логарифма. В частности, плоскость расщепленных комплексных чисел состоит из четырех компонент связности. $\{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},$ и множество особых точек, не имеющих обратных: диагонали z = x ± x j, x ∈ R . Компонент идентичности , а именно { z : x > | й | } = U ₁ — диапазон функции возведения в квадрат и экспоненты. Таким образом, это область определения функций квадратного корня и логарифма. Остальные три квадранта не принадлежат к этой области, поскольку квадратный корень и логарифм определяются как взаимно-однозначные обратные функции возведения в квадрат и экспоненциальной функции.

Графическое описание логарифма числа D дано Моттером и Розой в их статье «Гиперболическое исчисление» (1998).

D-голоморфные функции

Уравнения Коши–Римана , характеризующие голоморфные функции в области комплексной имеют плоскости, аналог для функций моторной переменной. Подход к D-голоморфным функциям с использованием производной Виртингера был предложен Моттером и Россой:

Функция f = u + j v называется D-голоморфной, если

$0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).$

Учитывая действительные и мнимые компоненты, D-голоморфная функция удовлетворяет условию

$u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.$

Эти уравнения были опубликованы в 1893 году Георгом Шефферсом , поэтому их назвали условиями Шефферса .

Аналогичный подход в теории гармонических функций можно увидеть в тексте Питера Дюрена. Очевидно, что компоненты u и v D-голоморфной функции f удовлетворяют волновому уравнению , связанному с Даламбера , тогда как компоненты C-голоморфных функций удовлетворяют уравнению Лапласа .

Уроки Ла-Платы

В Национальном университете Ла-Платы в 1935 году Ж. К. Виньо, эксперт по сходимости бесконечных рядов , опубликовал четыре статьи о двигательной переменной в ежегодном университетском журнале. Он является единственным автором вступительной части, а по остальным вопросам консультировался со своим главой отдела А. Дураньоной и Ведией. В «Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos» он говорит (стр. 123):

Эта система гиперболических комплексных чисел [двигательных переменных] представляет собой прямую сумму двух полей, изоморфных полю действительных чисел; это свойство позволяет объяснить теорию рядов и функций гиперболического комплексного переменного посредством использования свойств поля действительных чисел.

Затем он переходит, например, к обобщению теорем Коши, Абеля, Мертенса и Харди на область двигательной переменной.

В основной статье, цитируемой ниже, он рассматривает D-голоморфные функции и удовлетворение уравнения Даламбера их компонентами. Он называет прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям y = x и y = − x , изотропным прямоугольником , поскольку его стороны лежат на изотропных прямых .Свое резюме он завершает такими словами:

Изотропные прямоугольники играют фундаментальную роль в этой теории, поскольку они образуют области существования голоморфных функций, области сходимости степенных рядов и области сходимости функциональных рядов.

Виньо завершил свою серию шестистраничной заметкой о приближении D-голоморфных функций в единичном изотропном прямоугольнике полиномами Бернштейна . Хотя в этой серии есть некоторые опечатки, а также пара технических ошибок, Виньо удалось изложить основные направления теории, лежащей между реальным и обычным комплексным анализом. Текст особенно впечатляет как поучительный документ для студентов и преподавателей благодаря своей образцовой разработке из элементов. Более того, вся экскурсия основана на «ее связи с геометрией Эмиля Бореля », что подтверждает ее мотивацию.

Биреальная переменная

В 1892 году Коррадо Сегре вспомнил о тессариновой алгебре как о бикомплексных числах . Естественно, возникла подалгебра действительных тессаринов, получившая название бивещественных чисел .

В 1946 году У. Бенчивенга опубликовал эссе о двойственных числах и расщепленных комплексных числах, где он использовал термин бидействительное число. Он также описал некоторые аспекты теории функций бивещественной переменной. Эссе изучалось в Университете Британской Колумбии в 1949 году, когда Джеффри Фокс писал магистерскую диссертацию «Элементарная теория функций гиперкомплексной переменной и теория конформного отображения в гиперболической плоскости». На странице 46 Фокс сообщает: «Бенчивенга показал, что функция бивещественной переменной отображает гиперболическую плоскость в себя таким образом, что в тех точках, для которых производная функции существует и не обращается в нуль, гиперболические углы сохраняются в картографирование».

Г. Фокс переходит к полярному разложению бивещественной переменной и обсуждает гиперболическую ортогональность . Отталкиваясь от другого определения, он доказывает на стр. 57.

Теорема 3.42: Два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их единичные векторы взаимно отражают друг друга в той или иной из диагональных линий, проходящих через 0.

Фокс фокусируется на «билинейных преобразованиях» $w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}$, где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ являются бивещественными константами. Чтобы справиться с сингулярностью, он дополняет плоскость одной бесконечной точкой (стр. 73).

Среди его новых вкладов в теорию функций — концепция взаимосвязанной системы . Фокс показывает, что для бивещественного k, удовлетворяющего

( а - б ) ² < | к | < ( а + б ) ²

гиперболы

| г | = а ² и | г - к | = б ²

не пересекаются (образуют взаимосвязанную систему). Затем он показывает, что это свойство сохраняется при билинейных преобразованиях бивещественной переменной.

Компактификация

Мультипликативная обратная функция настолько важна, что принимаются крайние меры для включения ее в отображения дифференциальной геометрии . Например, комплексная плоскость сворачивается в сферу Римана для обычной комплексной арифметики . Для комплексной арифметики с расщеплением гиперболоид : вместо сферы используется $H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.$ Как и в случае со сферой Римана, метод представляет собой стереографическую проекцию от P = (0, 0, 1) через t = ( x , y , 0) на гиперболоид. Линия L = Pt параметризуется s в $L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}$ так что он проходит P, когда s равно нулю, и t, когда s равно единице.

Из H ∩ L следует, что

$(1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ so that}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.$

Если t находится на нулевом конусе , то s = 2 и (2 x , ±2 x , – 1) находится на H , противоположные точки (2 x , ±2 x , 1) составляют световой конус на бесконечности , который изображение нулевого конуса при инверсии.

Заметим, что для t с $y^{2}>1+x^{2},$ s отрицательный. Подразумевается, что обратный луч, проходящий через к t , образует точку на H. P Эти точки t находятся выше и ниже гиперболы, сопряженной единичной гиперболе.

Компактификация должна быть завершена в P ³ R с однородными координатами ( w, x, y, z ), где w аффинное пространство ( x, y, z = 1 определяет используемое до сих пор ). Гиперболоид H поглощается проективной конической $\{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},$ что представляет собой компактное пространство .

Вальтер Бенц выполнил компактификацию, используя отображение Ганса Бека. Исаак Яглом проиллюстрировал двухступенчатую компактификацию, как указано выше, но с плоскостью расщепленного комплекса, касательной к гиперболоиду. В 2015 году Эмануэлло и Нолдер выполнили компактификацию, сначала вложив моторную плоскость в тор , а затем сделав ее проективной, определив противоположные точки .

Ссылки

• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 7: Функции гиперболической переменной.
• Шахрам Дехдашт и семь других (2021) «Конформная гиперболическая оптика», Physical Review Research 3,033281 doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.033281