Двойной номер

В алгебре двойственные числа — это гиперкомплексная система счисления, впервые введенная в 19 веке. Это выражения вида $a + bε$ , где $a$ и $b$ — действительные числа , а $ε$ — символ, взятый для удовлетворения $\varepsilon ^{2}=0$ с $\varepsilon \neq 0$ .

Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле

(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,

что следует из свойства $ε 2 = 0$ и тот факт, что умножение является билинейной операцией .

Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности . два над вещественными числами, а также локальное кольцо артиново Это один из простейших примеров кольца, имеющего ненулевые нильпотентные элементы .

История [ править ]

Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Стью , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как $θ + dε$ , где $θ$ — угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве, а $d$ — расстояние между ними. n $-$ мерное обобщение, число Грассмана , было введено Германом Грассманом в конце 19 века.

Современное определение [ править ]

В современной алгебре алгебра двойственных чисел часто определяется как фактор по кольца полиномов действительным числам. $(\mathbb {R} )$ главным идеалом порожденным квадратом неопределенного , , то есть

\mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .

Ее также можно определить как внешнюю алгебру одномерного векторного пространства с $\varepsilon$ как его базовый элемент.

Дивизия [ править ]

Деление двойственных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя не равна нулю. Процесс деления аналогичен комплексному делению в том смысле, что знаменатель умножается на сопряженное ему число, чтобы исключить недействительные части.

Следовательно, чтобы вычислить выражение вида

{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}

умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю:

{\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}

который определяется, когда $c$ не равно нулю .

Если, с другой стороны, $c$ равно нулю, а $d$ нет, то уравнение

{a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}

не имеет решения, если $a$ не равно нулю
в противном случае решается любым двойным числом вида $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}б / д +$ у

Это означает, что недействительная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто недействительных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.

Матричное представление [ править ]

Двойное число $a+b\epsilon$ может быть представлена квадратной матрицей ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ . В этом представлении матрица ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ квадраты к нулевой матрице, соответствующей двойственному числу $\varepsilon$ .

Существуют и другие способы представления двойственных чисел в виде квадратных матриц. Они состоят из представления двойственного числа $1$ по единичной матрице и $\epsilon$ любой матрицей, квадрат которой является нулевой матрицей; то есть в случае $матриц 2\times2$ любая ненулевая матрица вида

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

с $a^{2}+bc=0.$ ^[1]

Дифференциация [ править ]

Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Любой полином

P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}

с действительными коэффициентами можно расширить до функции двузначного аргумента,

{\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}

где $P'$ является производной от $P.$

В более общем смысле, любая (аналитическая) действительная функция может быть расширена до двойственных чисел через ряд Тейлора :

f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,

поскольку все члены, включающие $ε 2$ или более высокие степени тривиально равны $0$ по определению $ε$ .

Вычисляя композиции этих функций над двойственными числами и исследуя коэффициент при $ε$ в результате, мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.

Подобный метод работает для полиномов от $n$ переменных, используя внешнюю алгебру -мерного векторного пространства $n$ .

Геометрия [ править ]

«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с $a = \pm1,$ поскольку они удовлетворяют условию $zz * = 1,$ где $z * = a - bε$ . Однако обратите внимание, что

e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,

поэтому экспоненциальное отображение , примененное к $оси ε$ , покрывает только половину «круга».

Пусть $z = a + bε$ . Если $а \neq 0$ и $m = b / a$ , то $z = a (1 + mε)$ — полярное разложение двойственного числа $z$ , а наклон $m$ — его угловая часть. Понятие вращения в двойственной числовой плоскости эквивалентно отображению вертикального сдвига , поскольку $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

В абсолютном пространстве и времени Галилея преобразование

\left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,

то есть

t'=t,\quad x'=vt+x,

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета со скоростью $v$ . Если двойственные числа $t + xε$ представляют события в одном измерении пространства и времени, то же преобразование выполняется при умножении на $1 + vε$ .

Циклы [ править ]

Учитывая два двойственных числа $p$ и $q$ , они определяют набор $z$ так, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от $z$ до $p$ и $q$ является постоянной. Это множество представляет собой цикл в двойственной числовой плоскости; поскольку уравнение, приравнивающее разность наклонов линий к константе, является квадратным уравнением в действительной части $z$ , цикл представляет собой параболу . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной линии . По словам Исаака Яглома , ^[2]^: 92–93 цикл $Z = {z : y = αx 2}$ инвариантен относительно состава сдвига

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

с переводом

x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.

Приложения в механике [ править ]

Двойные числа находят применение в механике , особенно для кинематического синтеза. Например, двойственные числа позволяют преобразовать входные/выходные уравнения четырехзвенной сферической связи, включающей только ротоидные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоидный, ротоидный, ротоидный, цилиндрический). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов, и двойственной части, имеющей единицы длины. ^[3] см. в теории винтов Дополнительную информацию .

Алгебраическая геометрия [ править ]

В современной алгебраической геометрии двойственные числа над полем $k$ (под этим мы подразумеваем кольцо $k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ ) можно использовать для определения касательных векторов к точкам $k$ - схема . ^[4] Поскольку поле $k$ могут быть выбраны внутренне, можно говорить просто о касательных векторах к схеме. понятия дифференциальной геометрии Это позволяет импортировать в алгебраическую геометрию.

Подробно: Кольцо двойственных чисел можно рассматривать как кольцо функций в «окрестности точки первого порядка», а именно $k$ - схема $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))$ . ^[4] Затем, учитывая $k$ -схема $X$ , $k$ -точки схемы находятся в 1-1 соответствии с картами $\operatorname {Spec} k\to X$ , а касательные векторы находятся в 1-1 соответствии с отображениями $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X$ .

Поле $k$ выше, может быть выбрано как поле вычетов . То есть: Учитывая точку $x$ по схеме $S$ , рассмотрим стебель $S_{x}$ . Обратите внимание, что $S_{x}$ — локальное кольцо с единственным максимальным идеалом , который обозначается ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Тогда просто позвольте $k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ .

Обобщения [ править ]

Эту конструкцию можно осуществить в более общем смысле: для коммутативного кольца $R$ можно определить двойственные числа над $R$ как фактор полиномов кольца $R [X]$ по идеалу $(X 2)$ : тогда образ $X$ имеет квадрат, равный нулю, и соответствует элементу $ε$ сверху.

Произвольный модуль элементов нулевого квадрата [ править ]

Существует более общая конструкция двойственных чисел. Учитывая коммутативное кольцо $R$ и модуль $M$ , есть кольцо $R[M]$ называется кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры:

Это $R$ -модуль $R\oplus M$ с умножением, определяемым $(r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)$ для $r,r'\in R$ и $i,i'\in I.$

Алгебра двойственных чисел — это частный случай, когда $M=R$ и $\varepsilon =(0,1).$

Суперпространство [ править ]

Двойные числа находят применение в физике , где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают эту концепцию на $n$ различных генераторов $ε$ , каждый из которых антикоммутирует и, возможно, доводит $n$ до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику вытекает из принципа Паули для фермионов. Направление вдоль $ε$ называется «фермионным» направлением, а действительная компонента — «бозонным» направлением. Фермионное направление получило это название из-за того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули: при обмене координат квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношением $ε 2 = 0$ .

Проективная линия [ править ]

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинул Грюнвальд. ^[5] и Коррадо Сегре . ^[6]

Точно так же, как сфера Римана нуждается в точке северного полюса на бесконечности, чтобы замкнуть комплексную проективную линию , так и линия на бесконечности успешно замыкает плоскость двойственных чисел в цилиндр . ^[2]^{: 149–153}

Предположим, что $D$ — кольцо двойственных чисел $x + yε$ , а $U$ — подмножество с $x \neq 0$ . Тогда $U$ — единиц D. $$ группа Пусть $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U или b \in U}$ . Отношение , определяется на B следующим образом: $(a, b) ~ (c, d)$ когда существует $u$ в $U$ такое, что $ua = c$ и $ub = d$ . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над $D$ являются классами эквивалентности в $B$ по этому отношению: $P (D) = B /~$ . Они представлены проективными координатами $[a, b]$ .

Рассмотрим вложение $D \to P (D)$ посредством $z \to [z, 1]$ . Тогда точки $[1, n]$ для $n 2 = 0$ , находятся в $P (D)$ , но не являются образом какой-либо точки при вложении. $P (D)$ отображается на цилиндр посредством проекции : возьмем цилиндр, касательный к плоскости двойных чисел на прямой ${yε : y \in R}$ , $ε 2 = 0$ . Теперь примите противоположную линию на цилиндре за ось карандаша плоскостей . Плоскости, пересекающие двойственную числовую плоскость и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная двойственной числовой плоскости, соответствует точкам $[1, n]$ , $n 2 = 0$ в проективной прямой над двойственными числами.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
^ Перейти обратно: ^а ^б Яглом, И.М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физические основы . Спрингер. ISBN 0-387-90332-1 . МР 0520230 .
^ Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захарьев, Евтим (ред.), «Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу», Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия NATO ASI, том. 161, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, doi : 10.1007/978-3-662-03729-4_1 , ISBN. 9783662037294
^ Перейти обратно: ^а ^б Шафаревич, Игорь Р. (2013), «Схемы» , Basic Algebraic Geometry 2 , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–38, doi : 10.1007/978-3-642-38010-5_1 , ISBN 978-3-642-38009-9 , получено 27 декабря 2023 г.
^ Грюнвальд, Йозеф (1906). «О двойственных числах и их применении в геометрии». Ежемесячные журналы по математике . 17 :81–136. дои : 10.1007/BF01697639 . S2CID 119840611 .
^ Сегре, Коррадо (1912). «XL. Проективные геометрии в дуальных числовых полях». Работает . Также в Трудах Королевской академии наук Турина 47 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бенчивенга, Ульдерико (1946). «О геометрическом представлении двойных алгебр с модулем». Труды Королевской академии наук и изящных писем Неаполя . 3 (на итальянском языке). 2 (7). МР 0021123 .
Клиффорд, Уильям Кингдон (1873). «Предварительный набросок бикватернионов». Труды Лондонского математического общества . 4 : 381–395.
Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (апрель 2004 г.). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) . Журнал «Математика» . 77 (2): 118–129. дои : 10.1080/0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377 .
Этюд, Эдуард (1903). Геометрия Динамена . Б. Г. Тойбнер. п. 196. Из Корнеллских исторических математических монографий Корнелльского университета .
Яглом, И.М. (1968). Комплексные числа в геометрии . Перевод с русского Эрика Дж. Ф. Примроуза. Нью-Йорк и Лондон: Академическая пресса . п. 12 –18.
Бранд, Луи (1947). Векторный и тензорный анализ . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
Фишер, Ян С. (1999). Методы двойственных чисел в кинематике, статике и динамике . Бока-Ратон: CRC Press.
Бертрам, В. (2008). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства над общими базовыми полями и кольцами . Воспоминания АМС. Том. 192. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц.
« Высшее касательное пространство» . math.stackexchange.com .

[1] Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks

[yaglom-2] Перейти обратно: ^а ^б Яглом, И.М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физические основы . Спрингер. ISBN 0-387-90332-1 . МР 0520230 .

[3] Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захарьев, Евтим (ред.), «Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу», Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия NATO ASI, том. 161, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, doi : 10.1007/978-3-662-03729-4_1 , ISBN. 9783662037294

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б Шафаревич, Игорь Р. (2013), «Схемы» , Basic Algebraic Geometry 2 , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–38, doi : 10.1007/978-3-642-38010-5_1 , ISBN 978-3-642-38009-9 , получено 27 декабря 2023 г.

[5] Грюнвальд, Йозеф (1906). «О двойственных числах и их применении в геометрии». Ежемесячные журналы по математике . 17 :81–136. дои : 10.1007/BF01697639 . S2CID 119840611 .

[6] Сегре, Коррадо (1912). «XL. Проективные геометрии в дуальных числовых полях». Работает . Также в Трудах Королевской академии наук Турина 47 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т Это счисления Системы
Sets of definable numbers	Natural numbers ( $\mathbb {N}$ ) Integers ( $\mathbb {Z}$ ) Rational numbers ( $\mathbb {Q}$ ) Constructible numbers Algebraic numbers ( $\mathbb {A}$ ) Closed-form numbers Periods Computable numbers Arithmetical numbers Set-theoretically definable numbers Gaussian integers
Composition algebras	Division algebras: Real numbers ( $\mathbb {R}$ ) Complex numbers ( $\mathbb {C}$ ) Quaternions ( $\mathbb {H}$ ) Octonions ( $\mathbb {O}$ )
Split types	Over $\mathbb {R}$ : Split-complex numbers Split-quaternions Split-octonions Over $\mathbb {C}$ : Bicomplex numbers Biquaternions Bioctonions
Other hypercomplex	Dual numbers Dual quaternions Dual-complex numbers Hyperbolic quaternions Sedenions ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multicomplex numbers Geometric algebra/Clifford algebra Algebra of physical space Spacetime algebra Plane-based geometric algebra
Other types	Cardinal numbers Extended natural numbers Irrational numbers Fuzzy numbers Hyperreal numbers Levi-Civita field Surreal numbers Transcendental numbers Ordinal numbers p-adic numbers (p-adic solenoids) Supernatural numbers Profinite integers Superreal numbers Normal numbers
Classification List

v т Это Бесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутренних множеств Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий бесконечно малый анализ Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические цифры
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Гиперцелое число Теорема приращения Монада Внутренний комплект Поле Леви-Чивита Гиперконечный набор Закон непрерывности переиграть Микронепрерывность Трансцендентный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализ бесконечно малого Элементарное исчисление Курс анализа