Jump to content

Это значит в

(Перенаправлено с местного кольца Артиниана )

В математике , особенно в абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) — это кольцо , которое удовлетворяет условию нисходящей цепи на (односторонних) идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие нисходящей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи эквивалентным понятием: условием минимума .

Точнее, кольцо является артиновым слева, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на левых идеалах, артиновым справа, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на правых идеалах, и артиновым или двусторонним артиновым, если оно одновременно артиново слева и справа. [1] Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но, вообще говоря, отличны друг от друга.

Теорема Веддерберна -Артина характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модулям , с заменой идеалов подмодулями .

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по отношению к условию восходящей цепи , в кольцах оно на самом деле является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицкого является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нетеровым кольцом . Это не относится к общим модулям; то есть артинов модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .

Примеры и контрпримеры

[ редактировать ]
  • Область целостности является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
  • Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов артиново слева. В частности, конечное кольцо (например, ) является левым и правым артиновым.
  • Пусть k — поле. Затем является артиновым для любого натурального числа n .
  • Сходным образом, — артиново кольцо с максимальным идеалом .
  • Позволять будет эндоморфизмом между конечномерным векторным пространством V . Тогда подалгебра созданный является коммутативным артиновым кольцом.
  • Если I ненулевой идеал дедекиндовой области A , то является главным артиновым кольцом. [2]
  • Для каждого , полное матричное кольцо над левым артиновым (соответственно левонетеровым) кольцом R является левоартиновым (соответственно левонетеровым) кольцом. [3]

Следующие два являются примерами неартиновых колец.

  • Если R — любое кольцо, то кольцо многочленов R [ x ] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный (собственно) содержится в идеале, порожденном для всех натуральных чисел n . Напротив, если R нётерово, то и R [ x ] согласно базовой теореме Гильберта .
  • Кольцо целых чисел является нетеровым кольцом, но не артиновым.

Модули над артиновыми кольцами

[ редактировать ]

Пусть M — левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие утверждения эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M , конечно порождено (ii) M имеет конечную длину (т. е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново. [4]

Коммутативные артиновы кольца

[ редактировать ]

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

Пусть k — поле и A — конечно порожденная k - алгебра . Тогда A артинов тогда и только тогда, когда A конечно порожден как k -модуль.

Артиново локальное кольцо завершено. Фактор . и локализация артинова кольца артиновы

Простое артиново кольцо

[ редактировать ]

Одна из версий теоремы Веддерберна – Артина утверждает, что простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. Действительно, [8] пусть I — минимальный (ненулевой) правый идеал A , который существует, поскольку A артинов (и остальная часть доказательства не использует тот факт, что A артинов). Тогда, поскольку является двусторонним идеалом, поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать так что . Предположим, что k минимально по этому свойству. Рассмотрим отображение правых A -модулей:

Это сюръективно . Если оно не инъективно , то, скажем, с ненулевым . Тогда в силу минимальности I имеем: . Отсюда следует:

,

что противоречит минимальности k . Следовательно, и таким образом .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Брешар 2014 , с. 73
  2. ^ Кларк , Теорема 20.11.
  3. ^ Кон 2003 , 5.2. Упражнение 11.
  4. ^ Бурбаки 2012 , VIII, с. 7
  5. ^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.7
  6. ^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.5
  7. ^ Атья и Макдональд 1969 , гл. 8, Упражнение 2
  8. ^ Милнор 1971 , с. 144
  • Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 36, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511623608 , ISBN.  978-0-521-41134-9 , МР   1314422
  • Бурбаки, Николя (2012). Алгебра. Глава 8. Полупростые модули и кольца . Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN  978-3-540-35315-7 .
  • Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности для левых идеалов. Энн. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
  • Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
  • Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . Спрингер. ISBN  978-1-85233-587-8 .
  • Брешар, Матей (2014). Введение в некоммутативную алгебру . Спрингер. ISBN  978-3-319-08692-7 .
  • Кларк, Пит Л. «Коммутативная алгебра» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г.
  • Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Анналы математических исследований, том. 72, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , MR   0349811 , Zbl   0237.18005
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: eebe42ac01072031bf6e77216cd0b492__1698531600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ee/92/eebe42ac01072031bf6e77216cd0b492.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Artinian ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)