Это значит в
В математике , особенно в абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) — это кольцо , которое удовлетворяет условию нисходящей цепи на (односторонних) идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие нисходящей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи эквивалентным понятием: условием минимума .
Точнее, кольцо является артиновым слева, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на левых идеалах, артиновым справа, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на правых идеалах, и артиновым или двусторонним артиновым, если оно одновременно артиново слева и справа. [1] Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но, вообще говоря, отличны друг от друга.
Теорема Веддерберна -Артина характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.
То же определение и терминология могут быть применены к модулям , с заменой идеалов подмодулями .
Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по отношению к условию восходящей цепи , в кольцах оно на самом деле является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицкого является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нетеровым кольцом . Это не относится к общим модулям; то есть артинов модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .
Примеры и контрпримеры
[ редактировать ]- Область целостности является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
- Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов артиново слева. В частности, конечное кольцо (например, ) является левым и правым артиновым.
- Пусть k — поле. Затем является артиновым для любого натурального числа n .
- Сходным образом, — артиново кольцо с максимальным идеалом .
- Позволять будет эндоморфизмом между конечномерным векторным пространством V . Тогда подалгебра созданный является коммутативным артиновым кольцом.
- Если I — ненулевой идеал дедекиндовой области A , то является главным артиновым кольцом. [2]
- Для каждого , полное матричное кольцо над левым артиновым (соответственно левонетеровым) кольцом R является левоартиновым (соответственно левонетеровым) кольцом. [3]
Следующие два являются примерами неартиновых колец.
- Если R — любое кольцо, то кольцо многочленов R [ x ] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный (собственно) содержится в идеале, порожденном для всех натуральных чисел n . Напротив, если R нётерово, то и R [ x ] согласно базовой теореме Гильберта .
- Кольцо целых чисел является нетеровым кольцом, но не артиновым.
Модули над артиновыми кольцами
[ редактировать ]Пусть M — левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие утверждения эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M , конечно порождено (ii) M имеет конечную длину (т. е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново. [4]
Коммутативные артиновы кольца
[ редактировать ]Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
- А — артиниан.
- A — конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец . [5]
- A / nil( A ) — полупростое кольцо , где nil( A ) — нильрадикал кольца A . [ нужна ссылка ]
- Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
- A имеет нулевую размерность Крулля . [6] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
- конечно и дискретно.
- является дискретным. [7]
Пусть k — поле и A — конечно порожденная k - алгебра . Тогда A артинов тогда и только тогда, когда A конечно порожден как k -модуль.
Артиново локальное кольцо завершено. Фактор . и локализация артинова кольца артиновы
Простое артиново кольцо
[ редактировать ]Одна из версий теоремы Веддерберна – Артина утверждает, что простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. Действительно, [8] пусть I — минимальный (ненулевой) правый идеал A , который существует, поскольку A артинов (и остальная часть доказательства не использует тот факт, что A артинов). Тогда, поскольку является двусторонним идеалом, поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать так что . Предположим, что k минимально по этому свойству. Рассмотрим отображение правых A -модулей:
Это сюръективно . Если оно не инъективно , то, скажем, с ненулевым . Тогда в силу минимальности I имеем: . Отсюда следует:
- ,
что противоречит минимальности k . Следовательно, и таким образом .
См. также
[ редактировать ]- Искусство алгебры
- Артинский идеал
- Последовательный модуль
- Полуидеальное кольцо
- Кольцо Горенштейна
- Нётерово кольцо
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Брешар 2014 , с. 73
- ^ Кларк , Теорема 20.11.
- ^ Кон 2003 , 5.2. Упражнение 11.
- ^ Бурбаки 2012 , VIII, с. 7
- ^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.7
- ^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.5
- ^ Атья и Макдональд 1969 , гл. 8, Упражнение 2
- ^ Милнор 1971 , с. 144
Ссылки
[ редактировать ]- Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 36, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511623608 , ISBN. 978-0-521-41134-9 , МР 1314422
- Бурбаки, Николя (2012). Алгебра. Глава 8. Полупростые модули и кольца . Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-35315-7 .
- Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности для левых идеалов. Энн. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . Спрингер. ISBN 978-1-85233-587-8 .
- Брешар, Матей (2014). Введение в некоммутативную алгебру . Спрингер. ISBN 978-3-319-08692-7 .
- Кларк, Пит Л. «Коммутативная алгебра» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г.
- Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Анналы математических исследований, том. 72, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , MR 0349811 , Zbl 0237.18005