Состояние восходящей цепи

В математике условие возрастающей цепи ( ACC ) и условие нисходящей цепи ( DCC ) являются свойствами конечности, которым удовлетворяют некоторые алгебраические структуры , особенно идеалы в некоторых коммутативных кольцах . ^[1]^[2]^[3] Эти условия сыграли важную роль в развитии структурной теории коммутативных колец в работах Дэвида Гильберта , Эмми Нётер и Эмиля Артина .Сами условия можно сформулировать в абстрактной форме, чтобы они имели смысл для любого частично упорядоченного множества . Эта точка зрения полезна в абстрактной алгебраической теории размерности благодаря Габриэлю и Рентшлеру.

Определение

( Говорят, что частично упорядоченное множество ЧУУ) P удовлетворяет условию возрастающей цепи (ACC), если не существует бесконечной строго возрастающей последовательности.

a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots

элементов P существует. ^[4] Эквивалентно, ^[а] каждая слабо возрастающая последовательность

a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,

элементов P в конечном итоге стабилизируется, а это означает, что существует целое положительное число n такое, что

a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .

Аналогично, P говорят, что удовлетворяет условию нисходящей цепи (DCC), если не существует бесконечной нисходящей цепочки элементов P . ^[4] Эквивалентно, каждая слабо нисходящая последовательность

a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots

элементов P со временем стабилизируется.

Предполагая аксиому зависимого выбора , условие нисходящей цепи на (возможно, бесконечном) частично упорядоченном множестве P : непустое каждое P эквивалентно обоснованности подмножество P имеет минимальный элемент (также называемый минимальным условием или условием минимума ). , Полностью упорядоченное множество которое является хорошо обоснованным, — это хорошо упорядоченное множество .
Точно так же условие возрастающей цепи эквивалентно P обратному обоснованию (опять же, при условии зависимого выбора): каждое непустое подмножество P имеет максимальный элемент ( условие максимального или условие максимума ).
Каждое конечное ЧУУ удовлетворяет условиям как восходящей, так и нисходящей цепи и, таким образом, является одновременно обоснованным и обратно обоснованным.

Пример

Рассмотрим кольцо

\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}

целых чисел. Каждый идеал $\mathbb {Z}$ состоит из всех кратных некоторому числу $n$ . Например, идеал

I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}

состоит из всех кратных $6$ . Позволять

J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}

быть идеалом, состоящим из всех кратных $2$ . Идеал $I$ содержится внутри идеального $J$ , поскольку каждое кратное $6$ также кратно $2$ . В свою очередь, идеал $J$ содержится в идеальном $\mathbb {Z}$ , поскольку каждое кратное $2$ кратно $1$ . Однако на данный момент большего идеала не существует; мы «достигли максимума» в $\mathbb {Z}$ .

В общем, если $I_{1},I_{2},I_{3},\dots$ являются идеалами $\mathbb {Z}$ такой, что $I_{1}$ содержится в $I_{2}$ , $I_{2}$ содержится в $I_{3}$ , и так далее, то есть некоторые $n$ ради чего все $I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$ . То есть через какой-то момент все идеалы становятся равными друг другу. Поэтому идеалы $\mathbb {Z}$ удовлетворяют условию возрастающей цепи, где идеалы упорядочиваются путем включения множества. Следовательно $\mathbb {Z}$ является нётеровым кольцом .

См. также

Примечания

^ Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует возрастающая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что она содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность.

Цитаты

^ Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004 , с. 6, положение. 1.1.4
^ Фрэли и Кац 1967 , с. 366, Лемма 7.1.
^ Джейкобсон 2009 , стр. 142, 147
^ Перейти обратно: ^а ^б Хазевинкель , с. 580

Ссылки

Атья, Миссури ; Макдональд, IG (1969), Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2690-0
Хазевинкель, Михель. Энциклопедия математики . Клювер. ISBN 1-55608-010-7 .
Фрели, Джон Б.; Кац, Виктор Дж. (1967), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3
Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра I , Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

«Является ли эквивалентность условия восходящей цепи и условия максимума аксиоме зависимого выбора?» .

[5] Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует возрастающая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что она содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность.

[FOOTNOTEHazewinkelGubareniKirichenko2004p._6,_Prop._1.1.4-1] Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004 , с. 6, положение. 1.1.4

[FOOTNOTEFraleighKatz1967p._366,_Lemma_7.1-2] Фрэли и Кац 1967 , с. 366, Лемма 7.1.

[FOOTNOTEJacobson2009142,_147-3] Джейкобсон 2009 , стр. 142, 147

[FOOTNOTEHazewinkel580-4] Перейти обратно: ^а ^б Хазевинкель , с. 580

[1]

[2]

[3]

[4]

[а]