Условие восходящей цепи на главных идеалах

В абстрактной алгебре условие возрастающей цепи может быть применено к частично упорядоченным множествам главного левого, главного правого или главных двусторонних идеалов кольца , частично упорядоченных включением . Условие восходящей цепи главных идеалов (сокращенно ACCP ) выполняется, если в кольце не существует бесконечной строго восходящей цепочки главных идеалов данного типа (левых/правых/двусторонних), или, другими словами, каждая восходящая цепочка в конечном итоге является постоянным.

К этим частично упорядоченным множествам также можно применить условие нисходящей цепи , однако в настоящее время нет необходимости в терминологии «DCCP», поскольку такие кольца уже называются левыми или правыми совершенными кольцами . (См . § Некоммутативные кольца ниже. )

Типичными примерами являются нётеровы кольца (например, области главных идеалов ), но некоторые важные ненетеровы кольца также удовлетворяют требованиям (ACCP), особенно уникальные области факторизации и совершенные слева или справа кольца.

Коммутативные кольца

Хорошо известно, что ненулевая неединица в нетеровой области целочисленности разлагается на неприводимые . Доказательство этого основано только на (ACCP), а не на (ACC), поэтому в любой области целостности с (ACCP) существует неприводимая факторизация. (Другими словами, любые целые области с (ACCP) являются атомарными . Но обратное неверно, как показано в ( Grams 1974 ).) Такая факторизация не может быть уникальной; Обычный способ установить уникальность факторизации использует лемму Евклида , которая требует, чтобы факторы были простыми, а не просто неприводимыми. Действительно, имеется следующая характеристика: пусть A — область целостности. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. А — УФО.
2. A удовлетворяет (ACCP), и каждая неприводимая из A является простой.
3. A является доменом НОД, удовлетворяющим (ACCP).

Так называемый критерий Нагаты справедлив для области целостности A, удовлетворяющей (ACCP): пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество , A порожденное простыми элементами. Если локализация S ⁻¹ A это UFD, как и A. — (Обратите внимание, что обратное утверждение тривиально.)

Область целостности A удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда кольцо полиномов A [ t ] удовлетворяет. Аналогичный факт неверен, если A не является областью целостности.

Область целостности , в которой каждый конечно порожденный идеал является главным (то есть область Безу ), удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда она является областью главных идеалов .

Кольцо Z + X Q [ X ] всех рациональных многочленов с целым постоянным членом является примером области целостности (фактически области НОД), которая не удовлетворяет (ACCP), для цепочки главных идеалов

$(X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...$

является бессрочным.

Некоммутативные кольца

В некоммутативном случае возникает необходимость отличать правый ACCP от левого ACCP . Первый требует только частичного множества идеалов формы xR , чтобы удовлетворить условию восходящей цепи, а второй исследует только частично упорядоченное множество идеалов формы Rx .

Теорема Хаймана Басса в ( Bass 1960 ), теперь известная как «Теорема Басса P», показала, что условие нисходящей цепи на главных левых идеалах кольца R эквивалентно тому, что R является совершенным справа кольцом . Д. Иона показал в ( Jonah 1970 ), что между ACCP и идеальными кольцами существует связь с переключением сторон. Было показано, что если R совершенен справа (удовлетворяет правому DCCP), то R удовлетворяет левому ACCP, а симметрично, если R совершенен слева (удовлетворяет левому DCCP), то он удовлетворяет правому ACCP. Обратные утверждения неверны, и приведенные выше переключения между «левым» и «правым» не являются опечатками.

Независимо от того, выполняется ли ACCP на правой или левой стороне R , из этого следует, что R не имеет бесконечного набора ненулевых ортогональных идемпотентов и что R является дедекиндовым конечным кольцом .

Ссылки

• Басс, Хайман (1960), «Финитистская размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец», Trans. амер. Математика. Соц. , 95 (3): 466–488, doi : 10.1090/s0002-9947-1960-0157984-8 , ISSN   0002-9947 , MR   0157984
• Грамс, Энн (1974), «Атомные кольца и условие восходящей цепи для главных идеалов», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 75 (3): 321–329, Bibcode : 1974PCPS...75..321G , doi : 10.1017/s0305004100048532 , MR   0340249 , S2CID   120558655
• Хейнцер, Уильям Дж.; Ланц, Дэвид К. (1994), «ACCP в кольцах полиномов: контрпример», Proc. амер. Математика. Соц. , 121 (3): 975–977, doi : 10.2307/2160301 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2160301 , MR   1232140
• Иона, Дэвид (1970), «Кольца с условием минимума для главных правых идеалов имеют условие максимума для главных левых идеалов», Math. З. , 113 (2): 106–112, doi : 10.1007/bf01141096 , ISSN   0025-5874 , MR   0260779 , S2CID   121739821
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Нагата, Масаеши (1975), «Некоторые типы простых расширений колец» (PDF) , Houston J. Math. , 1 (1): 131–136, ISSN   0362-1588 , МР   0382248