Главный элемент

В математике , особенно в абстрактной алгебре , простым элементом коммутативного кольца является объект, удовлетворяющий определенным свойствам, подобным простым числам в целых числах и неприводимым многочленам . Следует проявлять осторожность, чтобы отличать простые элементы от неприводимых элементов - концепция, которая одинакова для UFD, но не одинакова в целом.

Определение [ править ]

Элемент $p$ коммутативного кольца $R$ называется простым, если он не является нулевым элементом или единицей , и всякий раз, когда $p$ делит $ab$ для некоторых $a$ и $b$ в $R$ , тогда $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$ . Согласно этому определению, лемма Евклида представляет собой утверждение, что простые числа являются простыми элементами в кольце целых чисел . Эквивалентно, элемент $p$ является простым тогда и только тогда, когда главный идеал $(p),$ порожденный $p$ , является ненулевым простым идеалом . ^[1] (Обратите внимание, что в области целостности идеал $(0)$ является простым идеалом , но $0$ является исключением из определения «простого элемента».)

Интерес к простым элементам исходит из фундаментальной теоремы арифметики , которая утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано по существу только одним способом как 1 или -1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальных областей факторизации , которые обобщают то, что было только что проиллюстрировано в целых числах.

Простота зависит от того, в каком кольце находится элемент; например, 2 является простым элементом в $Z$ , но его нет в $Z [i]$ , кольце гауссовых целых чисел , поскольку $2 = (1 + i)(1 - i)$ и 2 не делят ни один множитель справа.

Связь с высшими идеалами [ править ]

Идеал $I$ в кольце $R$ (с единицей) является простым , если фактор-кольцо $R / I$ является областью целостности .

В области целостности ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом.

Неприводимые элементы [ править ]

Простые элементы не следует путать с неприводимыми элементами . В области целостности каждое простое число неприводимо. ^[2]но обратное, вообще говоря, неверно. Однако в уникальных областях факторизации ^[3] или, в более общем смысле, в доменах НОД простые числа и неприводимые одинаковы.

Примеры [ править ]

Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:

Целые числа $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... в кольце целых $Z$
комплексные числа $(1 + i)$ , $19$ и $(2 + 3 i)$ в кольце гауссовских целых чисел $Z [i]$
многочлены $x 2 - 2$ и $х 21$ в $Z [x]$ — кольце полиномов над $Z.$ +
2 в факторкольце $Z /6 Z$
$Икс 2 + (х 2 + x)$ является простым, но не неприводимым в кольце $Q [x]/(x 2 + х)$
На ринге $З. 2$ пар целых чисел $(1, 0)$ является простым, но не неприводимым (имеется $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
В кольце целых алгебраических чисел $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ элемент $3$ неприводимый, но не простой (поскольку 3 делит $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$ и 3 не делит ни один множитель справа).

Ссылки [ править ]

Примечания

^ Hungerford 1980 , Теорема III.3.4(i), как указано в примечании ниже теоремы и доказательства, результат справедлив в полной общности.
^ Хангерфорд 1980 , Теорема III.3.4(iii)
^ Хангерфорд 1980 , замечание после определения III.3.5.

Источники

Раздел III.3 Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 73 (перепечатка изд. 1974 г.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-90518-1 , МР 0600654
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 100–100. XVIII+686, ISBN 0-7167-1933-9 , МР 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR 0254021.

[1] Hungerford 1980 , Теорема III.3.4(i), как указано в примечании ниже теоремы и доказательства, результат справедлив в полной общности.

[2] Хангерфорд 1980 , Теорема III.3.4(iii)

[3] Хангерфорд 1980 , замечание после определения III.3.5.

[1]

[2]

[3]