Неприводимый элемент

В алгебре неприводимый элемент области целостности — это ненулевой элемент, который не является обратимым (то есть не является единицей ) и не является произведением двух необратимых элементов.

Неприводимые элементы являются конечными элементами процесса факторизации ; то есть это факторы, которые не могут быть далее факторизованы. Неприводимые факторы элемента определяются однозначно, с точностью до умножения на единицу, если область целостности является уникальной областью факторизации . В XIX веке было обнаружено, что кольца целых чисел некоторых числовых полей не являются уникальными областями факторизации и, следовательно, некоторые неприводимые элементы могут появляться при одной факторизации элемента, а не в других факторизациях того же элемента. Незнание этого факта является основной ошибкой во многих неправильных доказательствах Великой теоремы Ферма , которые были даны в течение трех столетий между утверждением Ферма и доказательством Уайлса Великой теоремы Ферма .

Если $R$ является областью целостности, то $a$ является неприводимым элементом $R$ тогда и только тогда, когда для всех $b,c\in R$ , уравнение $a=bc$ подразумевает, что идеал, порожденный $a$ равен идеалу, порожденному $b$ или равен идеалу, порожденному $c$ . Эта эквивалентность не выполняется для общих коммутативных колец, поэтому при определении неприводимых элементов обычно делается предположение о том, что в кольце нет ненулевых делителей нуля. Это также приводит к тому, что существует несколько способов распространить определение неприводимого элемента на произвольное коммутативное кольцо . ^[1]

Связь с простыми элементами [ править ]

Неприводимые элементы не следует путать с простыми элементами . (Ненулевой неединичный элемент $a$ в коммутативном кольце $R$ называется простым, если когда бы то ни было $a\mid bc$ для некоторых $b$ и $c$ в $R,$ затем $a\mid b$ или $a\mid c.$ ) В области целостности каждый простой элемент неприводим, ^[а]^[2] но обратное, вообще говоря, неверно. Обратное верно для уникальных областей факторизации. ^[2] (или, в более общем смысле, домены GCD ).

Более того, хотя идеал, порожденный простым элементом, является простым идеалом , в общем случае неверно, что идеал, порожденный неприводимым элементом, является неприводимым идеалом . Однако, если $D$ является доменом GCD и $x$ является неприводимым элементом $D$ , то как отмечено выше $x$ является простым, поэтому идеал, порожденный $x$ является простым (следовательно, неприводимым) идеалом $D$ .

Пример [ править ]

В квадратичном целочисленном кольце $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ аргументов можно показать с помощью нормальных , что число 3 неприводимо. Однако он не является простым элементом в этом кольце, поскольку, например,

3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,

но 3 не делит ни один из двух множителей. ^[3]

См. также [ править ]

Неприводимый полином

Примечания [ править ]

^ Рассмотрим $p$ основной элемент $R$ и предположим $p=ab.$ Затем $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ или $p\mid b.$ Сказать $p\mid a\Rightarrow a=pc,$ тогда у нас есть $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ Потому что $R$ это целостная область, которую мы имеем $cb=1.$ Так $b$ является единицей и $p$ является нередуцируемым.