Атомный домен
В математике , точнее в теории колец , атомная область или область факторизации — это целая область , в которой каждая ненулевая неединица может быть записана хотя бы одним способом как конечное произведение неприводимых элементов . Атомные домены отличаются от уникальных доменов факторизации тем, что это разложение элемента на неприводимые не обязательно должно быть уникальным; иными словами, неприводимый элемент не обязательно является простым элементом .
Важные примеры атомарных доменов включают класс всех уникальных доменов факторизации и всех нётеровых доменов . В более общем смысле, любая область целостности, удовлетворяющая условию возрастающей цепи главных идеалов (ACCP), является атомарной областью. Хотя обратное , в статье Кона утверждается [1] известно, что это ложь. [2]
Термин «атомный» принадлежит П.М. Кону , который назвал неприводимый элемент области целостности «атомом».
Мотивация
[ редактировать ]В этом разделе кольцо можно рассматривать просто как абстрактный набор, в котором можно выполнять операции сложения и умножения; аналогично целым числам .
Кольцо целых чисел (то есть множество целых чисел с естественными операциями сложения и умножения) удовлетворяет многим важным свойствам. Одним из таких свойств является фундаментальная теорема арифметики . Таким образом, при рассмотрении абстрактных колец возникает естественный вопрос: при каких условиях справедлива такая теорема? Поскольку единственная область факторизации — это именно кольцо, в котором выполняется аналог фундаментальной теоремы арифметики, на этот вопрос легко ответить. Однако можно заметить, что существует два аспекта фундаментальной теоремы арифметики: во-первых, любое целое число является конечным произведением простых чисел , а во-вторых, это произведение уникально с точностью до перестановки (и умножения на единицы ). Поэтому естественно также задаться вопросом, при каких условиях отдельные элементы кольца могут быть «разложены», не требуя единственности. Концепция атомарного домена решает эту проблему.
Определение
[ редактировать ]Пусть R — область целостности . Если каждый ненулевой неединичный x из R можно записать как произведение неприводимых элементов , R называется атомной областью. (Произведение обязательно конечно, поскольку бесконечные произведения не определены в теории колец . Такое произведение может включать один и тот же неприводимый элемент более одного раза в качестве фактора.) Любое такое выражение называется факторизацией x .
Особые случаи
[ редактировать ]В атомарной области возможно, что разные факторизации одного и того же элемента x имеют разную длину. Возможно даже, что среди факторизаций x нет ограничения на число неприводимых факторов. Если, наоборот, количество факторов ограничено для каждого ненулевого неединичного x , то R является ограниченной областью факторизации ( BFD ); формально это означает, что для каждого такого x существует целое число N такое, что если x = x 1 x 2 ... x n, причем ни один из x i не обратим, то n < N .
Если такая граница существует, ни одна цепочка собственных делителей от x до 1 не может превышать эту границу по длине (поскольку частное на каждом шаге может быть факторизовано, производя факторизацию x по крайней мере с одним неприводимым множителем для каждого шага цепочки) поэтому не может быть никакой бесконечной строго восходящей цепочки главных идеалов R , . Это условие, называемое условием восходящей цепи главных идеалов или ACCP, строго слабее, чем условие BFD, и строго сильнее, чем условие атомарности (другими словами, даже если существуют бесконечные цепочки собственных делителей, все равно может быть так, что каждые x обладает конечной факторизацией [3] ).
Двумя независимыми условиями, которые строго сильнее, чем условие BFD, являются условие полуфакториальной области ( HFD : любые две факторизации любого данного x имеют одинаковую длину) и условие конечной области факторизации ( FFD : любой x имеет только конечное число неассоциированных дивизоров ) . Очевидно, что каждая уникальная область факторизации удовлетворяет этим двум условиям, но ни одно из них не подразумевает уникальную факторизацию.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ П.М. Кон, кольца Безу и их подкольца; Учеб. Кэмб. Фил.Соц. 64 (1968) 251–264
- ^ А. Граммы, атомные кольца и условие возрастающей цепи для главных идеалов. Учеб. Кембриджская философия. Соц. 75 (1974), 321–329.
- ^ Д.Д. Андерсон, Д.Ф. Андерсон, М. Зафрулла, Факторизация в целочисленных областях; Дж. Чистая и прикладная алгебра 69 (1990) 1–19.
- П.М. Кон, Кольца Безу и их подкольца , 1968 год.