Артинский идеал

В абстрактной алгебре артинов идеал , названный в честь Эмиля Артина , встречается в теории колец , в частности, с кольцами полиномов .

Для данного кольца многочленов R = k [ X ₁ , ... X _n ], где k — некоторое поле , артинов идеал — это идеал I в R, для которого размерность Крулля факторкольца R / I равна 0. Кроме того, меньше точнее, можно думать об артиновском идеале как о таком идеале, в котором в качестве генератора по крайней мере каждая неопределенная величина из R возведена в степень больше 0.

Если идеал не артинов, его артиново замыкание можно сделать следующим образом. Сначала возьмем наименьшее общее кратное образующих идеала. Во-вторых, добавьте в генератор идеала каждую неопределенную величину НОК с увеличенной на 1 степенью, если изначально мощность не равна 0. Пример ниже.

Примеры

Позволять $R=k[x,y,z]$, и пусть $I=(x^{2},y^{5},z^{4}),\;J=(x^{3},y^{2},z^{6},x^{2}yz^{4},yz^{3})$ и $\displaystyle {K=(x^{3},y^{4},x^{2}z^{7})}$. Здесь, $\displaystyle {I}$ и $\displaystyle {J}$ являются артиновскими идеалами, но $\displaystyle {K}$ не потому, что в $\displaystyle {K}$, неопределенное $\displaystyle {z}$ не появляется отдельно для мощности как генератора.

Чтобы принять артиновское замыкание $\displaystyle {K}$, $\displaystyle {\hat {K}}$, находим НОК образующих $\displaystyle {K}$, что $\displaystyle {x^{3}y^{4}z^{7}}$. Затем добавляем генераторы $\displaystyle {x^{4},y^{5}}$, и $\displaystyle {z^{8}}$ к $\displaystyle {K}$, и уменьшить. Таким образом, мы имеем $\displaystyle {\hat {K}}=(x^{3},y^{4},z^{8},x^{2}z^{7})$ что является артинианским.

Ссылки

• Саенс-де-Кабесон Иригарай, Эдуардо (2008). «Комбинаторная гомология Кошуля, вычисления и приложения». arXiv : 0803.0421 .