Длина модуля

В алгебре длина ​ модуля над кольцом $R$ является обобщением размерности векторного пространства , которое измеряет его размер. ^{стр. 153} Она определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей . Для векторных пространств (модулей над полем) длина равна размерности. Если $R$ является алгеброй над полем $k$длина модуля равна не более чем его размерности как $k$-векторное пространство.

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии — модуль над нетеровым коммутативным кольцом. $R$ может иметь конечную длину только тогда, когда модуль имеет нулевую размерность Крулля . Модули конечной длины — это конечно порожденные модули , но большинство конечно порожденных модулей имеют бесконечную длину. Модули конечной длины называются артиновыми модулями и являются фундаментальными для теории артиновых колец .

Степенью алгебраического многообразия внутри аффинного или проективного пространства называется длина координатного кольца нульмерного пересечения многообразия с общим линейным подпространством дополнительной размерности. В более общем смысле кратность пересечения нескольких многообразий определяется как длина координатного кольца нульмерного пересечения.

Определение

Длина модуля

Позволять $M$ быть (левым или правым) модулем над некоторым кольцом $R$. Учитывая цепочку подмодулей $M$ формы

$M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},$

один говорит, что $n$ это длина цепи. Длина ​ ​ $M$ — наибольшая длина любой из его цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что $M$ имеет бесконечную длину . Очевидно, что если длина цепочки равна длине модуля, то $M_{0}=0$ и $M_{n}=M.$

Длина кольца

Длина кольца $R$ — длина самой длинной цепочки идеалов ; то есть длина $R$ рассматривается как модуль над собой путем умножения слева. Напротив, Крулля размерность $R$ — длина самой длинной цепочки простых идеалов .

Характеристики

Конечная длина и конечные модули

Если $R$-модуль $M$ имеет конечную длину, то оно конечно порождено . Если R — поле, то верно и обратное.

Связь с артиновыми и нётеровыми модулями

Ан $R$-модуль $M$ имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является одновременно нетеровым модулем и артиновым модулем. (ср. теорему Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, это означает, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново.

Поведение по отношению к коротким точным последовательностям

Предполагать $$0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0$$представляет собой короткую точную последовательность $R$-модули. Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем $${\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)$$ В частности, из него следует следующие два свойства

• Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
• Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Джордана – Гёльдера

Основная статья: теорема Джордана – Гёльдера

Композиционная серия модуля M представляет собой цепочку вида

$0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M$

такой, что

$N_{i+1}/N_{i}{\text{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1$

Модуль M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он имеет (конечную) композиционную серию, и длина каждой такой композиционной серии равна длине M .

Примеры

Конечномерные векторные пространства

Любое конечномерное векторное пространство $V$ над полем $k$ имеет конечную длину. Учитывая основу $v_{1},\ldots ,v_{n}$ есть цепь $$0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V$$который имеет длину $n$. Оно максимально, поскольку для любой цепочки $$V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}$$размерность каждого включения увеличится как минимум $1$. Поэтому его длина и размер совпадают.

Артиновы модули

Над базовым кольцом $R$, артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основным инструментом для определения порядка исчезновения в теории пересечений .

Нулевой модуль

Нулевой модуль — единственный, имеющий длину 0.

Простые модули

Модули длиной 1 — это именно простые модули .

Артиновы модули над Z

Длина циклической группы $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (рассматриваемый как модуль над целыми числами Z ) равен количеству простых множителей числа $n$, при этом несколько простых множителей учитываются несколько раз. Это следует из того, что подмодули $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями $n$, это соответствие вытекает из того, что $\mathbb {Z}$ — кольцо главных идеалов .

Использование в теории множественности

Основная статья: Кратность пересечений

Для нужд теории пересечений связанного Жан-Пьер Серр ввел общее понятие кратности точки , как длины артинова локального кольца, с этой точкой.

Первым применением было полное определение кратности пересечений и, в частности, формулировка теоремы Безу , утверждающей, что сумма кратностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна в точности произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок исчезновения нулей и полюсов

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок исчезновения ненулевой алгебраической функции. $f\in R(X)^{*}$ об алгебраическом многообразии. Учитывая алгебраическое многообразие $X$ и подразновидность $V$ коразмерности ​ 1 порядок исчезновения многочлена $f\in R(X)$ определяется как $$\operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)$$где ${\mathcal {O}}_{V,X}$ — локальное кольцо, определяемое стеблем ${\mathcal {O}}_{X}$ по подразновидности $V$ ^{страницы 426-227} или, что то же самое стебель , ${\mathcal {O}}_{X}$ в общей точке $V$ ^{стр. 22} . Если $X$ является аффинным многообразием и $V$ определяется исчезающим локусом $V(f)$, то существует изоморфизм $${\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}$$Затем эту идею можно распространить на рациональные функции. $F=f/g$ о разнообразии $X$ где порядок определяется как $$\operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)$$ что аналогично определению порядка нулей и полюсов в комплексном анализе .

Пример проективного многообразия

Например, рассмотрим проективную поверхность $Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}$ определяется полиномом $h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]$, то порядок исчезновения рациональной функции $$F={\frac {f}{g}}$$дается $$\operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)$$где $$\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)$$Например, если $h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}$ и $f=x^{2}+y^{2}$ и $g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})$ затем $$\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0$$с $x^{2}+y^{2}$ является единицей в местном кольце ${\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}$. В другом случае $x_{0}+x_{1}-x_{3}$ является единицей, поэтому фактор-модуль изоморфен $${\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}$$поэтому он имеет длину $2$. Это можно найти, используя максимальную правильную последовательность $$(0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}$$

Ноль и полюса аналитической функции

Порядок исчезновения является обобщением порядка нулей и полюсов мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция $${\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}$$имеет нули порядка 2 и 1 в $1,2\in \mathbb {C}$ и полюс порядка $1$ в $4i\in \mathbb {C}$. Такого рода информация может быть закодирована с использованием длины модулей. Например, установка $R(X)=\mathbb {C} [z]$ и $V=V(z-1)$, существует связанное локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{V,X}$ является $\mathbb {C} [z]_{(z-1)}$ и модуль фактора $${\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}$$Обратите внимание, что $z-4i$ является единицей, поэтому он изоморфен фактор-модулю $${\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}$$Его длина составляет $2$ поскольку существует максимальная цепь $$(0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$субмодулей. В более общем смысле, используя теорему о факторизации Вейерштрасса, мероморфная функция факторизуется как $$F={\frac {f}{g}}$$который представляет собой (возможно, бесконечное) произведение линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.

См. также

• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Потому что делитель
• Кольцо Чоу
• Теория пересечений
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Гипотеза множественности Серра
• Схема Гильберта – может использоваться для изучения модулей на схеме фиксированной длины.
• Теорема Крулля – Шмидта

Внешние ссылки

• Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN   0-8218-3222-0 , ISBN   978-0-8218-3222-6
• Аллен Альтман, Стивен Клейман, Термин коммутативной алгебры .
• Проект Стеки. Длина