Алгебраическое разнообразие

Эта статья об алгебраических многообразиях. О термине «разнообразие алгебр» см. Разнообразие (универсальная алгебра) .

— Скрученная кубика проективное алгебраическое многообразие.

Алгебраические многообразия — центральные объекты изучения алгебраической геометрии , раздела математики . Классически алгебраическое многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами . Современные определения обобщают эту концепцию несколькими различными способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения.

Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым , а это означает, что оно не является объединением двух меньших множеств , замкнутых в топологии Зарисского . Согласно этому определению, неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют несводимости.

Основная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией , показывая, что унитарный многочлен (алгебраический объект) от одной переменной с коэффициентами комплексного числа определяется множеством его корней (геометрический объект) в комплексной плоскости . Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами и колец полиномов алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили сильное соответствие между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец . Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия являются дифференцируемыми многообразиями , но алгебраическое многообразие может иметь особые точки , а дифференцируемое многообразие — нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать по их размерности . Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми , а алгебраические многообразия размерности два — алгебраическими поверхностями .

В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем — это целая (неприводимая и приведенная) схема над этим полем, морфизм структуры которого отделим и имеет конечный тип.

Обзор и определения

Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем концептуально является самым простым для определения типом многообразия, что и будет сделано в этом разделе. Далее аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается путем объединения меньших квазипроективных многообразий. Неочевидно, что таким способом можно создать действительно новые образцы сортов, но Нагата привел пример такого нового сорта в 1950-х годах.

Аффинные сорта

Основная статья: Аффинный сорт

Для алгебраически замкнутого поля K и натурального числа n пусть A ^н — аффинное n- пространство над K , отождествляемое с $K^{n}$ путем выбора аффинной системы координат . Многочлены   f   в кольце K [ x ₁ , ..., x _n ] можно рассматривать как K -значные функции на A ^н оценивая   f   в точках A ^н , то есть путем выбора значений в K для каждого x _i . Для каждого набора S полиномов в K [ x ₁ , ..., x _n ] определите нулевой локус Z ( S ) как набор точек в A ^н на котором функции из S одновременно обращаются в нуль, т. е.

$Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.$

Подмножество V из A ^н называется аффинным алгебраическим множеством если V = Z ( S ) для некоторого S. , Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым , если его нельзя представить в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называют аффинным многообразием . (Некоторые авторы используют фразу «аффинное многообразие» для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет. )

Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию , объявив замкнутые множества в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского.

Учитывая подмножество V из A ^н мы определяем I ( V ) как идеал всех полиномиальных функций, исчезающих на V :

$I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.$

Для любого аффинного алгебраического множества V координатное кольцо или структурное кольцо V является фактором кольца полиномов по этому идеалу.

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия

Основные статьи: Проективное разнообразие и Квазипроективное разнообразие

Пусть k — алгебраически замкнутое поле и P ^н — проективное n -пространство над k . Пусть   f   в k [ x0 _, ,... xn _] — однородный многочлен степени d . Нет четкого определения оценки   f   по точкам в P ^н в однородных координатах . Однако, поскольку   f   однороден, это означает, что   f ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^д  f ( x0 _f ,..., xn _имеет ) , смысл спросить, обращается ли   в   точке [ x0 _{нуль в} :... xn _: ] . Для каждого набора S однородных многочленов определите нулевое место S как набор точек в P ^н на котором функции из S обращаются в нуль:

$Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.$

Подмножество V из P ^н называется проективным алгебраическим множеством , если V = Z ( S для некоторого S. ) Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием .

Проективные многообразия также снабжаются топологией Зариского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Учитывая подмножество V из P ^н , пусть I ( V ) — идеал, порожденный всеми однородными многочленами, обращающимися в нуль V. на Для любого проективного алгебраического множества является фактором кольца многочленов V координатное кольцо V по этому идеалу.

Квазипроективное многообразие — это открытое по Зарисскому подмножество проективного многообразия. Заметим, что каждое аффинное многообразие квазипроективно. Заметим также, что дополнение к алгебраическому множеству в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивным множеством .

Абстрактные сорта

В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями , что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства . Например, в главе 1 многообразие над , алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие Хартсхорна но, начиная с главы 2, термин «разнообразие » (также называемый абстрактным разнообразием ) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным разнообразием, но, если рассматривать его в целом, не обязательно является квазипроективным; т.е. оно может не иметь вложения в проективное пространство . Итак, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии многообразия и регулярных функций на многообразии. Недостаток такого определения состоит в том, что не все многообразия имеют естественное вложение в проективное пространство. Например, согласно этому определению, произведение P ¹ × П ¹ не является разнообразием до тех пор, пока оно не встроено в большее проективное пространство; обычно это делается с помощью встраивания Сегре . Более того, любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, например, путем составления вложения с вложением Веронезе ; таким образом, многие понятия, которые должны быть внутренними, например понятие регулярной функции, таковыми не являются.

Самая ранняя успешная попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно, без вложения, была предпринята Андре Вейлем . В своих «Основах алгебраической геометрии» с использованием оценок . Клод Шевалле дал определение схемы , которое служило той же цели, но носило более общий характер. Однако Александром Гротендиком, определение схемы, данное является еще более общим и получило наиболее широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как схема конечного целая разделенная типа над алгебраически замкнутым полем. хотя некоторые авторы отказываются от условия неприводимости, редуцированности или отдельности или допускают, что основное поле не является алгебраически замкнутым. Классические алгебраические многообразия представляют собой квазипроективные целочисленные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий

Один из первых примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой. Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел полную и непроективную алгебраическую поверхность. С тех пор были найдены и другие примеры: например, несложно построить торические многообразия , которые не являются квазипроективными, а полными.

Примеры

Подразновидность

Подмногообразие — это подмножество многообразия, которое само по себе является многообразием (относительно топологической структуры, индуцированной объемлющим многообразием). Например, каждое открытое подмножество многообразия является многообразием. См. также закрытое погружение .

Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами или нерелевантными однородными простыми идеалами координатного кольца многообразия.

Аффинное разнообразие

Пример 1

Пусть k = C и A ² — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A. ² оценивая в точках A ² . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент   f ( x , y ) :

$f(x,y)=x+y-1.$

Нулевое локус   f ( x , y ) — это набор точек в A ² на котором эта функция обращается в нуль: это набор всех пар комплексных чисел ( x , y ) таких, что y = 1 − x . Это называется линией в аффинной плоскости. (В классической топологии, исходящей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая представляет собой вещественное многообразие размерности два.) Это множество Z ( f ) :

$Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.$

Таким образом, подмножество V = Z ( f ) из A ² является алгебраическим множеством . Множество V не пусто. Оно неприводимо, так как его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Пусть k = C и A ² — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A. ² оценивая в точках A ² . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент g ( x , y ):

$g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.$

Нулевое локус g ( x , y ) — это набор точек в A ² на котором эта функция обращается в нуль, то есть набор точек ( x , y ) таких, что x ² + и ² = 1. Поскольку g ( x , y ) — абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Набор его действительных точек (то есть точек, для которых x и y являются действительными числами) известен как единичный круг ; это название также часто дается всей разновидности.

Пример 3

Следующий пример не является ни гиперповерхностью , ни линейным пространством , ни отдельной точкой. Пусть А ³ — трехмерное аффинное пространство над C . Набор точек ( x , x ² , х ³ ) для x в C — алгебраическое многообразие, а точнее, алгебраическая кривая, не содержащаяся ни в одной плоскости. Это скрученный куб, показанный на рисунке выше. Его можно определить уравнениями

${\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}$

Неприводимость этого алгебраического множества нуждается в доказательстве. Один из подходов в этом случае — проверить, что проекция ( x , y , z ) → ( x , y ) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.

Для более сложных примеров всегда может быть дано подобное доказательство, но оно может подразумевать сложные вычисления: сначала вычисление по базису Грёбнера для вычисления размерности, за которым следует случайная линейная замена переменных (не всегда требуется); затем базисное вычисление Грёбнера для другого мономиального порядка для вычисления проекции и доказательства того, что она инъективна в общем случае и что ее образ является гиперповерхностью , и, наконец, полиномиальная факторизация для доказательства неприводимости изображения.

Общая линейная группа

Набор матриц размером n × n над базовым полем k можно отождествить с аффинным n ² -космос $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ с координатами $x_{ij}$ такой, что $x_{ij}(A)$ является ( i , j )-й записью матрицы $A$. Определитель ​ $\det$ тогда является многочленом от $x_{ij}$ и, таким образом, определяет гиперповерхность $H=V(\det )$ в $\mathbb {A} ^{n^{2}}$. Дополнение $H$ тогда является открытым подмножеством $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ состоящая из всех обратимых n на матриц размера n , общая линейная группа $\operatorname {GL} _{n}(k)$. Это аффинное многообразие, поскольку, вообще говоря, дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии аффинно. Явно рассмотрим $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ где аффинной линии присвоена координата t . Затем $\operatorname {GL} _{n}(k)$ составляет нулевой локус в $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ многочлена в $x_{ij},t$:

$t\cdot \det[x_{ij}]-1,$

т. е. набор матриц A таких, что $t\det(A)=1$ имеет решение. Лучше всего это видно алгебраически: координатное кольцо $\operatorname {GL} _{n}(k)$ это локализация $k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]$, который можно отождествить с $k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)$.

Мультипликативная группа k ^* базового поля k то же самое, что и $\operatorname {GL} _{1}(k)$ и, таким образом, является аффинным многообразием. Конечный продукт этого $(k^{*})^{r}$ — алгебраический тор , который снова является аффинным многообразием.

Общая линейная группа является примером линейной алгебраической группы , аффинного многообразия, которое имеет структуру группы таким образом, что групповые операции являются морфизмом многообразий.

Характерный сорт

Основная статья: Характерный сорт

Пусть A — не обязательно коммутативная алгебра над полем k . Даже если A не коммутативен, все равно может случиться, что A имеет $\mathbb {Z}$-фильтрация так, чтобы ассоциированное кольцо $\operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}$ коммутативна, редуцирована и конечно порождена как k -алгебра; то есть, $\operatorname {gr} A$ — координатное кольцо аффинного (приводимого) многообразия X . Например, если A — универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, затем $\operatorname {gr} A$ — кольцо полиномов ( теорема ПБВ ); точнее, координатное кольцо двойственного векторного пространства ${\mathfrak {g}}^{*}$.

Пусть M — фильтрованный модуль над A (т. е. $A_{i}M_{j}\subset M_{i+j}$). Если $\operatorname {gr} M$ бесконечно генерируется как $\operatorname {gr} A$-алгебра, носитель то $\operatorname {gr} M$ в Х ; то есть место, где $\operatorname {gr} M$ называется характеристическим многообразием M не обращается в нуль , . Это понятие играет важную роль в теории D -модулей .

Проективное разнообразие

Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства. То есть это нулевой локус набора однородных многочленов , порождающих простой идеал .

Пример 1

Аффинная плоская кривая y ² = х ³ - х . Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая — это нулевое положение неприводимого однородного многочлена от трех неопределенных. Проективная линия P ¹ является примером проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости P ² = {[ x , y , z ] } определяется x = 0 . В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

$y^{2}=x^{3}-x.$

в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики не два). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:

$y^{2}z=x^{3}-xz^{2},$

который определяет кривую в P ² называется эллиптической кривой . Кривая имеет род один ( формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P ¹ , имеющий нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род — это первый инвариант, который используется для классификации кривых (см. также построение модулей алгебраических кривых ).

Пример 2: Грассманиан

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие Gn _- ( V это множество всех n мерных подпространств V. ) — Это проективное многообразие: оно вложено в проективное пространство посредством вложения Плюкера :

${\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}$

где b _i — любой набор линейно независимых векторов из V , $\wedge ^{n}V$ является n -й внешней степенью , V а скобка [ w ] означает линию, натянутую на ненулевой вектор w .

Грассманово многообразие поставляется с естественным векторным расслоением (или локально свободным пучком в другой терминологии), называемым тавтологическим расслоением , которое важно при изучении характеристических классов, таких как классы Черна .

Якобианская разновидность и абелева разновидность

Пусть C — гладкая полная кривая и $\operatorname {Pic} (C)$ группа Пикара ; т. е. группа классов изоморфизма линейных расслоений на C . Поскольку C является гладким, $\operatorname {Pic} (C)$ может быть идентифицирован как группа классов дивизоров C , и, таким образом, существует гомоморфизм степени $\operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z}$. Якобианская разновидность $\operatorname {Jac} (C)$ C ; — ядро ​​этого отображения степени т. е. группа классов дивизоров на C нулевой степени. Якобианское многообразие является примером абелева многообразия , полного многообразия с совместимой структурой абелевой группы (однако название «абелева» не потому, что это абелева группа). Абелево многообразие оказывается проективным (короче, алгебраические тэта-функции дают вложение в проективное пространство. См. уравнения, определяющие абелевы многообразия ); таким образом, $\operatorname {Jac} (C)$ является проективным многообразием. Касательное пространство к $\operatorname {Jac} (C)$ в единичном элементе естественно изоморфен $\operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});$ следовательно, размерность $\operatorname {Jac} (C)$ это род $C$.

Исправить точку $P_{0}$ на $C$. Для каждого целого числа $n>0$, существует естественный морфизм

$C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]$

где $C^{n}$ продуктом n копий C. является Для $g=1$ (т. е. C — эллиптическая кривая), указанный выше морфизм для $n=1$ оказывается изоморфизмом; в частности, эллиптическая кривая является абелевым многообразием.

Разновидности модулей

Учитывая целое число $g\geq 0$, множество классов изоморфизма гладких полных кривых рода $g$ называется модулями кривых рода $g$ и обозначается как ${\mathfrak {M}}_{g}$. Есть несколько способов показать, что этот модуль имеет структуру возможно приводимого алгебраического многообразия; например, один из способов - использовать геометрическую теорию инвариантов , которая гарантирует, что набор классов изоморфизма имеет (приводимую) структуру квазипроективного многообразия. Модули, такие как модули кривых фиксированного рода, обычно не являются проективным многообразием; Грубо говоря, причина в том, что вырождение (предел) гладкой кривой имеет тенденцию быть негладким или приводимым. Это приводит к понятию устойчивой кривой рода $g\geq 2$, не обязательно гладкая полная кривая без каких-либо ужасно плохих особенностей и не очень большой группы автоморфизмов. Модули устойчивых кривых ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$, множество классов изоморфизма устойчивых кривых рода $g\geq 2$, тогда является проективным многообразием, содержащим ${\mathfrak {M}}_{g}$ как открытое подмножество. С ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ получается добавлением граничных точек к ${\mathfrak {M}}_{g}$, ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ называется компактификацией в просторечии ${\mathfrak {M}}_{g}$. Исторически статья Мамфорда и Делиня ввел понятие устойчивой кривой, чтобы показать ${\mathfrak {M}}_{g}$ является неприводимым, когда $g\geq 2$.

Модули кривых иллюстрируют типичную ситуацию: модули хороших объектов имеют тенденцию быть не проективными, а только квазипроективными. Другой случай — модули векторных расслоений на кривой. Здесь существуют понятия стабильных и полустабильных векторных расслоений на гладкой полной кривой. $C$. Модули полустабильных векторных расслоений заданного ранга $n$ и заданная степень $d$ (степень определителя расслоения) тогда является проективным многообразием, обозначаемым как $SU_{C}(n,d)$, который содержит набор $U_{C}(n,d)$ классов изоморфизма стабильных векторных расслоений ранга $n$ и степень $d$ как открытое подмножество. Поскольку линейное расслоение стабильно, такие модули являются обобщением якобиана многообразия $C$.

Вообще, в отличие от случая модулей кривых, компактификация модулей не обязательно должна быть единственной, и в некоторых случаях разные неэквивалентные компактификации строятся разными методами и разными авторами. Пример закончился $\mathbb {C}$ это проблема компактификации $D/\Gamma$, фактор ограниченной симметричной области $D$ действием арифметической дискретной группы $\Gamma$. Базовый пример $D/\Gamma$ это когда $D={\mathfrak {H}}_{g}$, верхнее полупространство Сигела и $\Gamma$ соизмеримо с $\operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )$; в таком случае, $D/\Gamma$ имеет интерпретацию как модули ${\mathfrak {A}}_{g}$ принципиально поляризованных комплексных абелевых многообразий размерности $g$ (главная поляризация отождествляет абелевое многообразие с его двойственным). Теория торических многообразий (или вложений тора) дает возможность компактифицировать $D/\Gamma$, тороидальная компактификация . его Но есть и другие способы компактизации. $D/\Gamma$; например, существует компактификация минимальная $D/\Gamma$ по Бейли и Борелю: это проективное многообразие, связанное с градуированным кольцом, образованным модулярными формами (в случае Зигеля - модулярными формами Зигеля ; см. также модульную разновидность Siegel ). Неединственность компактификаций связана с отсутствием модульной интерпретации этих компактификаций; т. е. они не представляют (в смысле теории категорий) какую-либо проблему естественных модулей или, говоря точным языком, не существует стека естественных модулей , который был бы аналогом стека модулей устойчивых кривых.

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть X = P ¹ × А ¹ и p : X → A ¹ проекция. Здесь X — алгебраическое многообразие, поскольку оно является произведением многообразий. Он не аффинен, поскольку P ¹ является замкнутым подмногообразием X (как нулевой локус p ), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. существует непостоянная регулярная функция Он также не проективен, поскольку на X ; а именно, п .

Другой пример неаффинного непроективного многообразия — X = A. ² − (0, 0) (см. Морфизм многообразий § Примеры .)

Непримеры

Рассмотрим аффинную линию $\mathbb {A} ^{1}$ над $\mathbb {C}$. Дополнение круга $\{z\in \mathbb {C} {\text{ with }}|z|^{2}=1\}$ в $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ не является алгебраическим многообразием (и даже алгебраическим множеством). Обратите внимание, что $|z|^{2}-1$ не является многочленом $z$ (хотя это полином от действительных координат $x,y$). С другой стороны, дополнение происхождения в $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ является алгебраическим (аффинным) многообразием, так как начало координат — нуль-место многообразия $z$. Это можно объяснить следующим образом: аффинная прямая имеет размерность единица, и поэтому любое ее подмногообразие, отличное от нее самой, должно иметь строго меньшую размерность; а именно ноль.

По тем же причинам унитарная группа (над комплексными числами) не является алгебраическим многообразием, а специальная линейная группа $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )$ является закрытым подмногообразием $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$, нулевой локус $\det -1$. (Однако в другом базовом поле унитарной группе может быть придана структура разнообразия.)

Основные результаты

• Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I ( V ) — простой идеал ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности .
• Каждое непустое аффинное алгебраическое множество можно однозначно записать как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием другого).
• Размерность . сорта может быть определена различными эквивалентными способами см . в разделе «Размерность алгебраического многообразия» . Подробности
• Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием. Конечное произведение аффинных многообразий аффинно. и конечное произведение проективных многообразий проективно.

Изоморфизм алгебраических многообразий

Смотрите также: Морфизм разновидностей

Пусть V ₁ , V ₂ — алгебраические многообразия. Мы говорим, что , _и пишем V ₁ ≅ V 1 и V 2 изоморфны V 2 _, если существуют _{регулярные} отображения φ : V 1 _→ V 2 _и ψ : V 2 _→ V 1 _такие , что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественные отображения на V ₁ и V ₂ соответственно.

Обсуждение и обобщения

Основные определения и факты, приведенные выше, позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше — например, иметь дело с многообразиями полей, которые не являются алгебраически замкнутыми , — необходимы некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактное алгебраическое многообразие — это особый вид схемы; обобщение на схемы с геометрической стороны позволяет распространить описанное выше соответствие на более широкий класс колец. Схема — это локально окольцованное пространство такое, что каждая точка имеет окрестность, которая как локально окольцованное пространство изоморфна спектру кольца . По сути, многообразие над k - это схема, структурный пучок которой представляет собой k пучок -алгебр со свойством, что все кольца R , встречающиеся выше, являются целыми областями и все являются конечно порожденными k -алгебрами, то есть они являются факторами. полиномиальных алгебр по первичным идеалам .

Это определение работает над любым полем k . Он позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например, аффинную линию с удвоенным нулем. схем, лежащих в основе разновидности Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются путем требования разделения . (Строго говоря, существует еще и третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных патчей.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разнообразие, имеющее аффинные диаграммы целой области , и, говоря о разнообразии, требуют только, чтобы аффинные диаграммы имели тривиальный нильрадикал .

Полное многообразие — это такое многообразие, что любое отображение открытого подмножества неособой кривой в него однозначно продолжается на всю кривую. Всякое проективное многообразие является полным, но не наоборот.

Эти сорта были названы «разновидностями в смысле Серра», поскольку Серра в основополагающей статье FAC пучковые когомологии для них были написаны . Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются вспомогательным образом.

Один из способов, который приводит к обобщениям, - это разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k , которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца R не могут быть целыми областями. Более существенная модификация — разрешить нильпотенты в пучке колец , то есть кольца, которые не редуцированы . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в Гротендика теорию схем .

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной прямой, определяемая x ² = 0 отличается от подсхемы, определяемой x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может быть нередуцированным, даже если X и Y редуцированы. Геометрически это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Существуют и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками .

Алгебраические многообразия

Основная статья: Алгебраическое многообразие

Алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие, которое также является m -мерным многообразием, и, следовательно, каждый достаточно малый локальный участок изоморфен k ^м . Эквивалентно, многообразие гладкое (без особых точек). Когда k — действительные числа, R , алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша . Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением проективных многообразий. Сфера Римана является одним из примеров.

См. также

• Разнообразие (значения) - также перечисление нескольких математических значений.
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Бирациональная геометрия
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Аналитический сорт
• Пространство Зариского – Римана
• Полуалгебраический набор
• Сорт Фано
• Теорема Мнева об универсальности

Ссылки

Источники

• Кокс, Дэвид ; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94680-2 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94269-6 .
• Милн, Джеймс С. (2008). «Алгебраическая геометрия» . Проверено 1 сентября 2009 г.
• Милн Дж., Якобианские многообразия , опубликовано как Глава VII Арифметической геометрии (Сторрс, Коннектикут, 1984), 167–212, Спрингер, Нью-Йорк, 1986.
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-56963-3 . МР   1304906 .
• Алгебраическая геометрия и арифметические кривые / . Оксфордские научные публикации. Издательство Оксфордского университета. 2006. ISBN  978-0-19-154780-5 . OCLC   646747871 .

Эта статья включает в себя материал из раздела «Изоморфизм разновидностей» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .