Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта

О теореме Пуанкаре–Биркгофа о неподвижной точке см. Теорему Пуанкаре–Биркгофа .

В математике , точнее в теории алгебр Ли , теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта (или теорема ПБВ ) является результатом, дающим явное описание универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли. Он назван в честь Анри Пуанкаре , Гаррета Биркгофа и Эрнста Витта .

Термины «теорема типа PBW» и «теорема PBW» также могут относиться к различным аналогам исходной теоремы, сравнивая фильтрованную алгебру с связанной с ней градуированной алгеброй, в частности, в области квантовых групп .

Формулировка теоремы

Напомним, что любое векторное пространство V над полем имеет базис ; это множество S такое, что любой элемент V является единственной (конечной) линейной комбинацией элементов S . В формулировке теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта мы рассматриваем базы, элементы которых полностью упорядочены некоторым соотношением, которое мы обозначаем ≤.

Если L — алгебра Ли над полем K , то пусть h обозначает каноническое K - линейное отображение из L в универсальную обертывающую алгебру U ( L ).

Теорема . Пусть L — алгебра Ли над K а X — полностью упорядоченный базис L. , Канонический моном над X — это конечная последовательность ( x ₁ , x ₂ ..., x _n ) элементов X , не убывающая в порядке ≤, то есть x ₁ ≤ x ₂ ≤ ... ≤ x _н . Распространите h на все канонические мономы следующим образом: если ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) является каноническим мономом, пусть

$h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).$

Тогда h инъективен на множестве канонических мономов и образ этого множества $\{h(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}\leq ...\leq x_{n}\}$ образует основу U ( L ) как K -векторного пространства.

Другими словами, рассмотрим Y = h ( X ). Y полностью упорядочен посредством индуцированного упорядочения X. из Набор мономов

$y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}$

где y ₁ < y ₂ < ... < y _n — элементы Y , а показатели степени неотрицательны , вместе с мультипликативной единицей 1 образуют основу для U ( L ). Обратите внимание, что единичный элемент 1 соответствует пустому каноническому моному. Теорема затем утверждает, что эти мономы образуют основу U ( L ) как векторного пространства. Легко видеть, что эти мономы охватывают U ( L ); содержание теоремы состоит в том, что они линейно независимы.

Мультипликативная структура U ( L ) определяется структурными константами в базисе X , то есть коэффициентами $c_{u,v}^{x}$ такой, что

$[u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.$

Это соотношение позволяет свести любое произведение y к линейной комбинации канонических мономов: Структурные константы определяют y _i y _j – y _j y _i , т.е. что делать, чтобы изменить порядок двух элементов Y в продукт. Этот факт, по модулю индуктивного аргумента о степени (неканонических) мономов, показывает, что всегда можно получить продукты, в которых множители упорядочены неубывающим образом.

Теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта можно интерпретировать как утверждение, что конечный результат этого сокращения уникален и не зависит от порядка, в котором происходит замена соседних элементов.

Следствие . Если L — алгебра Ли над полем, каноническое отображение L → U ( L ) инъективно. В частности, любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре Ли ассоциативной алгебры.

Более общий контекст

Уже на самых ранних этапах было известно, что K можно заменить любым коммутативным кольцом при условии, что L является свободным K -модулем, т. е. имеет указанный выше базис.

Чтобы распространить это на случай, когда L больше не является свободным K -модулем, необходимо сделать переформулировку, не использующую основания. предполагает замену пространства мономов в некотором базисе симметричной S алгеброй ( L ) на L. Это

В случае, когда K содержит поле рациональных чисел, можно рассмотреть естественное отображение S ( L ) в U ( L ), отправив моном $v_{1}v_{2}\cdots v_{n}$. для $v_{i}\in L$, к элементу

${\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}v_{\sigma (2)}\cdots v_{\sigma (n)}.$

Тогда справедлива теорема о том, что это отображение является изоморфизмом K -модулей.

Еще более общо и естественно можно рассматривать U ( L ) как фильтрованную алгебру , снабженную фильтрацией, заданной указанием того, что $v_{1}v_{2}\cdots v_{n}$ лежит в степени фильтрации $\leq n$. Отображение L → U ( L ) K -модулей канонически продолжается до отображения T ( L ) → U ( L ) алгебр, где T ( L ) — тензорная алгебра на L (например, по универсальному свойству тензора алгебры), а это фильтрованное отображение, снабжающее T ( L ) фильтрацией, переводящей L в степень один (на самом деле T ( L ) градуировано). Тогда, переходя к ассоциированному градуированному морфизму, получаем канонический морфизм T ( L ) → gr U ( L ), который убивает элементы vw - wv для v, w ∈ L , и, следовательно, спускается к каноническому морфизму S ( L ) → гр U ( L ). Тогда (градуированную) теорему о PBW можно переформулировать как утверждение, что при определенных гипотезах этот окончательный морфизм является изоморфизмом коммутативных алгебр .

Это не верно для всех K и L (см., например, последний раздел статьи Кона 1961 года), но верно во многих случаях. К ним относятся упомянутые выше, где либо L — свободный K -модуль (следовательно, всякий раз, когда K — поле), либо K содержит поле рациональных чисел. В более общем смысле, сформулированная выше теорема о PBW распространяется на такие случаи, как (1) L — плоский K -модуль, (2) L не имеет кручения как абелева группа , (3) L — прямая сумма циклических модулей. (или все его локализации на простых идеалах поля K обладают этим свойством), или (4) K — дедекиндова область . См., например, статью Хиггинса 1969 года об этих утверждениях.

Наконец, стоит отметить, что в некоторых из этих случаев также получается более сильное утверждение о том, что канонический морфизм S ( L ) → gr U ( L ) поднимается до изоморфизма K -модуля S ( L ) → U ( L ) , без принятия соответствующих оценок. Это верно в первых упомянутых случаях, когда L — свободный K -модуль или K содержит поле рациональных чисел, если воспользоваться изложенной здесь конструкцией (фактически результатом является изоморфизм коалгебры , а не просто K -модуль изоморфизм, наделяющий S ( L ) и U ( L ) их естественными структурами коалгебр, такими что $\Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v$ для v ∈ L ). Однако это более сильное утверждение может не распространяться на все случаи, описанные в предыдущем параграфе.

История теоремы

В четырех статьях 1880-х годов Альфредо Капелли доказал, используя разную терминологию, то, что сейчас известно как теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта в случае $L={\mathfrak {gl}}_{n},$ общая линейная алгебра Ли ; в то время как Пуанкаре позже заявил об этом в более общем плане, в 1900 году. Арман Борель говорит, что эти результаты Капелли были «полностью забыты почти на столетие» , и он не предполагает, что Пуанкаре знал о результате Капелли.

Тон-Тат и Тран исследовали историю теоремы. Они обнаружили, что большинство источников, предшествующих книге Бурбаки 1960 года, называют ее теоремой Биркгофа-Витта. Следуя этой старой традиции, Фофанова в своей энциклопедической статье говорится, что Пуанкаре получил первый вариант теоремы. Далее она говорит, что впоследствии теорема была полностью продемонстрирована Виттом и Биркгофом. Похоже, что источники до Бурбаки не были знакомы с статьей Пуанкаре.

Биркгоф и Витт не упоминайте работу Пуанкаре в своих статьях 1937 года. Картан и Эйленберг назовем эту теорему теоремой Пуанкаре-Витта и припишем полное доказательство Витту. Бурбаки были первыми, кто использовал все три имени в своей книге 1960 года. Кнапп представляет собой яркую иллюстрацию меняющейся традиции. В своей книге 1986 г. он называет это теоремой Биркгофа-Витта , а в своей более поздней книге 1996 года он переходит к теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта .

Неясно, был ли результат Пуанкаре полным. Тон-Тат и Тран заключить, что «Пуанкаре открыл и полностью продемонстрировал эту теорему по крайней мере за тридцать семь лет до Витта и Биркгофа» . С другой стороны, они отмечают, что «Пуанкаре делает несколько утверждений, не удосужившись их доказать» . Их собственные доказательства всех этапов, по их признанию, довольно длинные. Борель утверждает, что Пуанкаре « более или менее доказал теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта » в 1900 году.

Ссылки

• Биркгоф, Гаррет (апрель 1937 г.). «Представимость алгебр и групп Ли матрицами». Анналы математики . 38 (2): 526–532. дои : 10.2307/1968569 . JSTOR   1968569 .
• Борель, Арманд (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . История математики. Том. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN  978-0821802885 .
• Бурбаки, Николя (1960). «Глава 1: Алгебры лжи». Группы и алгебры Ли . Элементы математики. Париж: Германн. ISBN  9782705613648 .
• Капелли, Альфредо (1890). «Об операциях в теории алгебраических форм» . Математический Аннален . 37 :1–37. дои : 10.1007/BF01206702 . S2CID   121470841 .
• Картан, Анри; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Принстонская математическая серия (PMS). Том. 19. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-04991-5 .
• Картье, Пьер (1958). «Замечания к теореме Биркгофа–Витта» . Анналы Высшей педагогической школы Пизы - Класс естественных наук . Ряд 3. 12 (1–2): 1–4.
• Кон, премьер-министр (1963). «Замечание к теореме Биркгофа-Витта». Дж. Лондон Математика. Соц . 38 : 197–203. дои : 10.1112/jlms/s1-38.1.197 .
• Фофанова, Т.С. (2001) [1994], «Теорема Биркгофа–Витта» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3319134666 .
• Хиггинс, П.Дж. (1969). «Инварианты Бэра и теорема Биркгофа-Витта» . Журнал алгебры . 11 (4): 469–482. дои : 10.1016/0021-8693(69)90086-6 .
• Хохшильд, Г. (1965). Теория групп Ли . Холден-Дэй.
• Кнапп, AW (2001) [1986]. Теория представлений полупростых групп. Обзор на основе примеров . Принстонская математическая серия. Том. 36. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-09089-0 . JSTOR   j.ctt1bpm9sn .
• Кнапп, AW (2013) [1996]. Группы лжи за пределами введения . Спрингер. ISBN  978-1-4757-2453-0 .
• Пуанкаре, Анри (1900). «Sur les groupes continus». Труды Кембриджского философского общества . Том. 18. Университетское издательство. стр. 220–5. OCLC   1026731418 .
• Тон-То, Т.; Тран, Т.-Д. (1999). «Доказательство Пуанкаре так называемой теоремы Биркгофа-Витта» (PDF) . Преподобный Histoire Math . 5 : 249–284. arXiv : math/9908139 . Бибкод : 1999math......8139T . CiteSeerX   10.1.1.489.7065 . Збл   0958.01012 .
• Витт, Эрнст (1937). «Правильное изображение колец Лишера» . Дж. Рейн Анжью. Математика . 1937 (177): 152–160. дои : 10.1515/crll.1937.177.152 . S2CID   118046494 .