Структурные константы

Используя векторное произведение в качестве скобки Ли, алгебра трехмерных вещественных векторов представляет собой алгебру Ли, изоморфную алгебрам Ли групп SU (2) и SO (3). Структурные константы: $f^{abc}=\epsilon ^{abc}$, где $\epsilon ^{abc}$ — антисимметричный символ Леви-Чивита .

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем — это коэффициенты базисного разложения (в линейную комбинацию базисных векторов) произведений базисных векторов .Поскольку операция произведения в алгебре билинейна, знание линейности произведения базисных векторов позволяет вычислить произведение любых элементов (точно так же, как матрица позволяет вычислить действие линейного оператора на любой вектор, обеспечив действие оператора на базисных векторах).Следовательно, структурные константы можно использовать для указания операции произведения алгебры (точно так же, как матрица определяет линейный оператор). Учитывая структурные константы, результирующее произведение получается билинейным образом и может быть однозначно распространено на все векторы в векторном пространстве, тем самым однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебр Ли в физике , поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам (напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, билинейное произведение которых задается скобкой Ли , обычно определяется через коммутатор ).

Определение

Учитывая набор базисных векторов $\{\mathbf {e} _{i}\}$ для основного векторного пространства алгебры операция произведения однозначно определяется произведениями базисных векторов:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}$.

Структурные константы или структурные коэффициенты $c_{ij}^{\;k}$ это всего лишь коэффициенты $\mathbf {c} _{ij}$ на том же основании:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}$.

Иначе говоря, это коэффициенты, которые выражают $\mathbf {c} _{ij}$ как линейная комбинация базисных векторов $\mathbf {e} _{k}$.

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если только алгебра не наделена какой-либо другой структурой, требующей этого (например, псевдоримановой метрикой на алгебре неопределенной ортогональной группы so( p , q )). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Тогда различие между верхним и нижним является соглашением, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора , т.е. являются ковариантными при изменении базиса , тогда как верхние индексы контравариантны .

Структурные константы, очевидно, зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно из часто используемых соглашений о базисе - это лестничные операторы, определенные подалгеброй Картана ; это представлено далее в статье, после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли

Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами алгебры , а продукт скорее называется скобкой Ли (часто скобка Ли представляет собой дополнительную операцию произведения помимо уже существующего продукта, что требует отдельного названия). Для двух векторов $A$ и $B$ в алгебре скобка Ли обозначается $[A,B]$.

Опять же, нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны как вверх, так и вниз. В физике принято использовать обозначение $T_{i}$ для генераторов и $f_{ab}^{\;\;c}$ или $f^{abc}$ (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Тогда линейное разложение скобки Ли пар образующих будет выглядеть так:

$[T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}$.

Опять же, путем линейного расширения, структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби . Для базисных векторов это можно записать как

$[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0$

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

$f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.$

Вышеупомянутое и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают именно матричные элементы присоединенного представления . Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простой вид, если их записать в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли . Для мелких элементов $X,Y$ алгебры Ли структура группы Ли вблизи единичного элемента определяется выражением

$\exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).$

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как $e^{-X}de^{X}$; см . в формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа # Бесконечно-малый случай подробности .

лжи

𝔰𝔲(2) и 𝔰𝔬(3)

Алгебра ${\mathfrak {su}}(2)$ специальной унитарной группы SU(2) трехмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули $\sigma _{i}$. Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где $\varepsilon ^{abc}$ является символом Леви-Чивита ):

$$[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon ^{abc}\sigma _{c}$$

где

$$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$

В этом случае структурные константы равны $f^{abc}=2i\varepsilon ^{abc}$. Обратите внимание, что константа 2 i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя $t_{a}=-i\sigma _{a}/2$, с тем же успехом можно написать

$$[t_{a},t_{b}]=\varepsilon ^{abc}t_{c}$$

Это подчеркивает, что алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(2)$ группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ SO (3) . Это приводит структурные константы в соответствие с константами группы вращения SO(3) . То есть коммутатор операторов углового момента обычно записывается как

$$[L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}$$

где

$$L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},~~L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},~~L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$$

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трехмерном пространстве.

Разница в 2 i между этими двумя наборами структурных констант может привести в бешенство, поскольку здесь есть некоторые тонкости. Так, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать вещественную структуру . Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальным представлениям ${\mathfrak {su}}(2)$, которые изоморфны, но являются комплексно-сопряженными представлениями ; оба, однако, считаются реальными представлениями именно потому, что они действуют на пространство с реальной структурой . В случае трех измерений существует только одно трехмерное представление, присоединенное представление , которое является действительным представлением ; точнее, это то же самое, что и его двойственное представление , показанное выше. То есть получается, что транспонирование минусует себя: $L_{k}^{T}=-L_{k}.$

В любом случае группы Ли считаются вещественными именно потому, что структурные константы можно записать так, чтобы они были чисто вещественными.

𝔰𝔲(3)

Менее тривиальный пример даёт SU(3) :

Его генераторы T в определяющем представлении:

$T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,$

где $\lambda \,$, матрицы Гелла-Манна , являются SU(3)-аналогом матриц Паули для SU(2):

$\lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Они подчиняются отношениям

$\left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,$

$\{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,$

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

$f^{123}=1\,$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,$

$f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,$

и все остальные $f^{abc}$ не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.

d : принимают значения

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,$

𝔰𝔲(N)

Для общего случая 𝔰𝔲(N) существует замкнутая формула для получения структурной константы без необходимости вычисления коммутационных и антикоммутационных отношений между генераторами.Сначала мы определяем $N^{2}-1$ генераторы 𝔰𝔲(N), основанные на обобщении матриц Паули и матриц Гелла-Манна (с использованием обозначений Бракета). Есть $N(N-1)/2$ симметричные матрицы,

${\hat {T}}_{\alpha _{nm}}={\frac {\hbar }{2}}(|m\rangle \langle n|+|n\rangle \langle m|)$,

$N(N-1)/2$ антисимметричные матрицы,

${\hat {T}}_{\beta _{nm}}=-i{\frac {\hbar }{2}}(|m\rangle \langle n|-|n\rangle \langle m|)$,

и $N-1$ диагональные матрицы,

${\hat {T}}_{\gamma _{n}}={\frac {\hbar }{\sqrt {2n(n-1)}}}{\Big (}\sum _{l=1}^{n-1}|l\rangle \langle l|+(1-n)|n\rangle \langle n|){\Big )}$.

Чтобы дифференцировать эти матрицы, мы определяем следующие индексы:

$\alpha _{nm}=n^{2}+2(m-n)-1$,

$\beta _{nm}=n^{2}+2(m-n)$,

$\gamma _{nm}=n^{2}-1$,

с условием $1\leq m<n\leq N$.

Все ненулевые полностью антисимметричные структурные константы равны

$f^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{nk}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}$,

$f^{\beta _{nm}\beta _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}$,

$f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}},~f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}$,

$f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n$.

Все ненулевые полностью симметричные структурные константы равны

$d^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\alpha _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{kn}\beta _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{mk}\beta _{nk}}={\frac {1}{2}}$,

$d^{\alpha _{nm}\beta _{nk}\beta _{km}}=-{\frac {1}{2}}$,

$d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{m}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}}$,

$d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n$,

$d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{n}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\frac {2-n}{\sqrt {2n(n-1)}}}$,

$d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{k(k-1)}}},~n<k$,

$d^{\gamma _{n}\gamma _{k}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}},~k<n$,

$d^{\gamma _{n}\gamma _{n}\gamma _{n}}=(2-n){\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}}$.

Подробнее о выводе см. и.

Примеры из других алгебр

Холла

Полиномы Холла являются структурными константами алгебры Холла .

Алгебры Хопфа

Помимо произведения, копроизведение и антипод алгебры Хопфа можно выразить через структурные константы. , Связующая аксиома которая определяет условие непротиворечивости алгебры Хопфа, может быть выражена как отношение между этими различными структурными константами.

Приложения

• Группа Ли является абелевой ровно тогда, когда все структурные константы равны 0.
• Группа Ли действительна ровно тогда, когда ее структурные константы вещественны.
• Структурные константы полностью антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является суммой простых прямой компактных алгебр Ли .
• Нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева . Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; подробнее см. также Рагунатан.
• В квантовой хромодинамике символ $G_{\mu \nu }^{a}\,$ представляет собой калибровочный ковариантный тензор напряженности глюонного поля , аналогичный тензору напряженности электромагнитного поля , F ^{примечание} , в квантовой электродинамике . Его дают:
  $$G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,$$
  где f _abc – структурные константы SU (3). Обратите внимание, что правила увеличения или уменьшения a , b или c индексов тривиальны , (+,... +), так что f ^абв = f _abc = f ^а
  _bc , тогда как для индексов µ или ν действуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической сигнатуре (+ − − −).

Выбор базиса алгебры Ли

Один из традиционных подходов к обеспечению базиса алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», появляющихся как собственные векторы подалгебры Картана . Здесь кратко обрисовано построение этого базиса с использованием обычных обозначений. Альтернативную конструкцию ( конструкцию Серра ) можно найти в статье полупростая алгебра Ли .

Дана алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$, подалгебра Картана ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ — максимальная абелева подалгебра. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормированный на базис может быть свободно выбран ${\mathfrak {h}}$; запишите эту основу как $H_{1},\cdots ,H_{r}$ с

$\langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним произведением векторного пространства. Размер $r$ этой подалгебры называется рангом алгебры. В присоединенном представлении матрицы $\mathrm {ad} (H_{i})$ взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализированы. Матрицы $\mathrm {ad} (H_{i})$ иметь (одновременные) собственные векторы ; те, у которых ненулевое собственное значение $\alpha$ условно обозначаются $E_{\alpha }$. Вместе с $H_{i}$ они охватывают все векторное пространство ${\mathfrak {g}}$. Тогда коммутационные соотношения будут

$[H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }$

Собственные векторы $E_{\alpha }$ определяются только в общем масштабе; одна традиционная нормализация состоит в том, чтобы установить

$\langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1$

Это позволяет записать остальные коммутационные соотношения в виде

$[E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}$

и

$[E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }$

причем последнее при условии, что корни (определенные ниже) $\alpha ,\beta$ суммировать до ненулевого значения: $\alpha +\beta \neq 0$. $E_{\alpha }$ иногда называются лестничными операторами , поскольку они обладают свойством повышать/понижать значение $\beta$.

Для данного $\alpha$, их столько же $\alpha _{i}$ как есть $H_{i}$ и поэтому можно определить вектор $\alpha =\alpha _{i}H_{i}$, этот вектор называется корнем алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простых алгебрах Ли корни могут иметь только две разные длины); см . в корневой системе подробности .

Структурные константы $N_{\alpha ,\beta }$ обладают тем свойством, что они отличны от нуля только тогда, когда $\alpha +\beta$ являются корнем. Кроме того, они антисимметричны:

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }$

и всегда можно выбрать так, что

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }$

Они также подчиняются условиям коцикла:

$N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }$

в любое время $\alpha +\beta +\gamma =0$, а также это

$N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0$

в любое время $\alpha +\beta +\gamma +\delta =0$.