Алгебра Холла

В математике алгебра Холла — ассоциативная алгебра с базисом, соответствующим классам изоморфизма конечных абелевых p -групп . Впервые он обсуждался Стейницем (1901), но был забыт до тех пор, пока не был вновь открыт Филипом Холлом ( 1959 ), оба из которых опубликовали не более чем краткие обзоры своих работ. Полиномы Холла являются структурными константами алгебры Холла . Алгебра Холла играет важную роль в теории Масаки Кашивары и Джорджа Люстига относительно канонических базисов в квантовых группах . Рингель (1990) обобщил алгебры Холла до более общих категорий , таких как категория представлений колчана .

Строительство

Конечная является прямой абелева p -группа M суммой циклических p -степенных компонент. $C_{p^{\lambda _{i}}},$ где $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ является разделом $n$ называется типом М. Позволять $g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(p)$ — количество подгрупп N группы M таких, что N имеет тип $\nu$ а частное M/N имеет тип $\mu$ . Холл доказал, что функции g являются полиномиальными функциями от p с целыми коэффициентами. Таким образом, мы можем заменить p на неопределенное q , что приводит к полиномам Холла

g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)\in \mathbb {Z} [q].\,

Затем Холл строит ассоциативное кольцо. $H$ над $\mathbb {Z} [q]$ , теперь называемая алгеброй Холла . Это кольцо имеет основу, состоящую из символов $u_{\lambda }$ а структурные константы умножения в этом базисе задаются полиномами Холла:

u_{\mu }u_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)u_{\lambda }.\,

Оказывается, H — коммутативное кольцо, свободно порожденное элементами $u_{\mathbf {1} ^{n}}$ соответствующие элементарным p -группам . Линейное отображение H в алгебру симметрических функций, определенное на образующих формулой

u_{\mathbf {1} ^{n}}\mapsto q^{-n(n-1)/2}e_{n}\,

(где en — _n- элементарная симметрическая я функция ) однозначно продолжается до гомоморфизма колец и образов базисных элементов $u_{\lambda }$ можно интерпретировать через симметричные функции Холла – Литтлвуда . Специализируя q до 0, эти симметричные функции становятся функциями Шура , которые, таким образом, тесно связаны с теорией полиномов Холла.

Ссылки

Холл, Филип (1959), «Алгебра разбиений», Труды 4-го Канадского математического конгресса, Банф , стр. 147–159.
Джордж Люстиг , Колчаны, извращенные пучки и квантованные обертывающие алгебры , Журнал Американского математического общества 4 (1991), вып. 2, 365–421.
Макдональд, Ян Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , МР 1354144
Рингель, Клаус Майкл (1990), «Алгебры Холла и квантовые группы» , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 583–591, Bibcode : 1990InMat.101..583R , doi : 10.1007/BF01231516 , MR 1062796 , S2CID 12048084 7
Шиффманн, Оливье (2012), «Лекции по холловским алгебрам», Геометрические методы в теории представлений. II , Семин. Конгресс, том. 24-II, Париж: Сок. Математика. Франция, стр. 1–141, arXiv : math/0611617 , Bibcode : 2006math.....11617S , MR 3202707
Стейниц, Эрнст (1901), «К теории абелевых групп», Годовой отчет Немецкой математической ассоциации , 9 : 80–85.