Кристаллическая основа

Не путать с кристаллом (математика) .

Кристаллическая основа для изображения квантовой группы на $\mathbb {Q} (v)$- векторное пространство не является базой этого векторного пространства, а скорее $\mathbb {Q}$-база $L/vL$ где $L$ это $\mathbb {Q} (v)$-решетка в этом векторном пространстве. Кристаллические основы появились в работах Кашивары ( 1990 ), а также в работах Люстига ( 1990 ). Их можно рассматривать как специализации, т. $v\to 0$ канонического базиса , определенного Люстигом ( 1990 ).

Определение

Вследствие своих определяющих соотношений квантовая группа $U_{q}(G)$ можно рассматривать как алгебру Хопфа над полем всех рациональных функций неопределенного q над $\mathbb {Q}$, обозначенный $\mathbb {Q} (q)$.

Для простого корня $\alpha _{i}$ и неотрицательное целое число $n$, определять

${\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}$

В интегрируемом модуле $M$, и по весу $\lambda$, вектор $u\in M_{\lambda }$ (т.е. вектор $u$ в $M$ с весом $\lambda$) однозначно разлагается на суммы

$u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},$

где $u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}$, $v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}$, $u_{n}\neq 0$ только если $n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$, и $v_{n}\neq 0$ только если $n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$.

Линейные отображения ${\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M$ можно определить на $M_{\lambda }$ к

${\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},$

${\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.$

Позволять $A$ быть областью целостности всех рациональных функций в $\mathbb {Q} (q)$ которые регулярны в $q=0$ ( т.е. рациональная функция $f(q)$ является элементом $A$ тогда и только тогда, когда существуют многочлены $g(q)$ и $h(q)$ в кольце полиномов $\mathbb {Q} [q]$ такой, что $h(0)\neq 0$, и $f(q)=g(q)/h(q)$).

Кристальная основа для $M$ это упорядоченная пара $(L,B)$, такой, что

• $L$ это бесплатно $A$-субмодуль $M$ такой, что $M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;$
• $B$ это $\mathbb {Q}$-базис векторного пространства $L/qL$ над $\mathbb {Q} ,$
• $L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }$ и $B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }$, где $L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }$ и $B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),$
• ${\tilde {e}}_{i}L\subset L$ и ${\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,$
• ${\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ и ${\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,$
• ${\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.$

Если выразить это в более неформальной обстановке, действия $e_{i}f_{i}$ и $f_{i}e_{i}$ обычно единичны в $q=0$ на интегрируемом модуле $M$. Линейные отображения ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ на модуле введены так, что действия ${\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}$ регулярно посещают $q=0$ на модуле. Существует $\mathbb {Q} (q)$-основа весовых векторов ${\tilde {B}}$ для $M$, в отношении которого действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ регулярно посещают $q=0$ для всех я . Затем модуль ограничивается бесплатным $A$-модуль, порожденный базисом и базисными векторами, $A$-субмодуль и действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ оцениваются в $q=0$. Кроме того, базис можно выбрать так, что при $q=0$, для всех $i$, ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ представлены взаимным транспонированием и отображают базисные векторы в базисные векторы или 0.

Кристаллическую основу можно представить в виде ориентированного графа с помеченными ребрами. Каждая вершина графа представляет собой элемент $\mathbb {Q}$-базис $B$ из $L/qL$и направленное ребро, помеченное i и направленное из вершины $v_{1}$ в вершину $v_{2}$, представляет собой $b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}$ (и, что то же самое, что $b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}$), где $b_{1}$ является базовым элементом, представленным $v_{1}$, и $b_{2}$ является базовым элементом, представленным $v_{2}$. Граф полностью определяет действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ в $q=0$. Если интегрируемый модуль имеет кристаллическую базу, то модуль неприводим тогда и только тогда, когда граф, представляющий кристаллическую базу, связен (граф называется «связным», если множество вершин не может быть разбито на объединение нетривиальных непересекающихся подмножеств). $V_{1}$ и $V_{2}$ такое, что нет ребер, соединяющих любую вершину в $V_{1}$ в любую вершину в $V_{2}$).

Для любого интегрируемого модуля с кристаллической основой весовой спектр для кристаллической основы такой же, как весовой спектр для модуля, и, следовательно, весовой спектр для кристаллической основы такой же, как весовой спектр для соответствующего модуля соответствующего модуля. Алгебра Каца–Муди . Кратности весов в кристаллической основе также такие же, как и их кратности в соответствующем модуле соответствующей алгебры Каца–Муди.

Это теорема Кашивары, что каждый интегрируемый модуль старшего веса имеет кристаллическую основу. Точно так же каждый интегрируемый модуль с наименьшим весом имеет кристаллическую основу.

Тензорные произведения кристаллических оснований

Позволять $M$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой $(L,B)$ и $M'$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой $(L',B')$. Для кристаллических основ побочный продукт $\Delta$, заданный

${\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}$

принят. Интегрируемый модуль $M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'$ имеет кристаллическую основу $(L\otimes _{A}L',B\otimes B')$, где $B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}$. Для базисного вектора $b\in B$, определять

$\varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}$

$\varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}$

Действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ на $b\otimes b'$ даны

${\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}$

Разложение произведения двух интегрируемых модулей старшего веса на неприводимые подмодули определяется разложением графа кристаллической основы на его связные компоненты (т.е. определяются старшие веса подмодулей и определяется кратность каждого старшего веса) .

Ссылки

• Янцен, Йенс Карстен (1996), Лекции по квантовым группам , Аспирантура по математике , том. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0478-0 , МР   1359532
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристализация q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260, doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN   0010-3616 , MR   1090425 , S2CID   121695 684
• Люстиг, Г. (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990961 , MR   1035415

Внешние ссылки

• Кристаллическая основа в n Lab