Каноническая основа

В математике канонический базис — это базис алгебраической структуры , которая является канонической в ​​том смысле, который зависит от конкретного контекста:

• В координатном пространстве и, в более общем смысле, в свободном модуле , это относится к стандартному базису, определяемому дельтой Кронекера .
• В кольце полиномов это относится к его стандартному базису, заданному мономами , $(X^{i})_{i}$.
• Для конечных полей расширения это означает полиномиальный базис .
• В линейной алгебре это относится к набору из n линейно независимых обобщенных собственных векторов матрицы размера n × n . $A$, если множество целиком состоит из жордановых цепей .
• В теории представлений это относится к базису квантовых групп, введенных Люстигом.

Теория представлений

Канонический базис неприводимых представлений квантованной обертывающей алгебрытип $ADE$ а также плюсовая часть этой алгебры была введена Люстигом кдва метода: алгебраический (с использованием действия группы кос и базисов PBW) и топологический.(с использованием когомологий пересечения). Специализация параметра $q$ к $q=1$ дает канонический базис для неприводимых представлений соответствующей простой алгебры Ли, которая быларанее не известно. Специализация параметра $q$ к $q=0$ дает что-то вроде тени основы. Эта тень (но не сам базис) для случая неприводимых представленийрассматривался Касиварой независимо; его иногда называют кристаллической основой .Определение канонической основы было распространено Кашиварой на сеттинг Кац-Муди. (алгебраическим методом) и Люстига (топологическим методом).

В основе этих баз лежит общая концепция:

Рассмотрим кольцо целых полиномов Лорана ${\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]$ с двумя его подкольцами ${\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]$ и автоморфизм ${\overline {\cdot }}$ определяется ${\overline {v}}:=v^{-1}$.

на Доканоническая структура свободном ${\mathcal {Z}}$-модуль $F$ состоит из

• Стандартная ​ основа $(t_{i})_{i\in I}$ из $F$,
• Интервальный конечный частичный порядок на $I$, то есть, $(-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}$ конечен для всех $i\in I$,
• Операция дуализации, т. е. биекция $F\to F$ второго порядка, то есть ${\overline {\cdot }}$- полулинейный и будет обозначаться через ${\overline {\cdot }}$ также.

Если задана доканоническая структура, то можно определить ${\mathcal {Z}}^{\pm }$ субмодуль ${\textstyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$ из $F$.

Тогда канонической основой доканонической структуры является ${\mathcal {Z}}$-базис $(c_{i})_{i\in I}$ из $F$ что удовлетворяет:

• ${\overline {c_{i}}}=c_{i}$ и
• $c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ and }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}$

для всех $i\in I$.

Можно показать, что для каждой доканонической структуры существует не более одного канонического базиса. Достаточным условием существования является то, что многочлены $r_{ij}\in {\mathcal {Z}}$ определяется ${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ удовлетворить $r_{ii}=1$ и $r_{ij}\neq 0\implies i\leq j$.

Канонический базис индуцирует изоморфизм из $\textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}$ к $F^{+}/vF^{+}$.

Хедж-алгебры

Позволять $(W,S)$ быть группой Кокстера . Соответствующая алгебра Ивахори-Гекке $H$ имеет стандартную основу $(T_{w})_{w\in W}$группа частично упорядочена порядком Брюа , который является конечным интервалом и имеет операцию дуализации, определяемую формулой ${\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}$. Это доканоническая структура $H$ удовлетворяющее достаточному условию, указанному выше, и соответствующему каноническому базису $H$ is the Kazhdan–Lusztig basis

$C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}$

с $P_{y,w}$ являются полиномами Каждана–Люстига .

Линейная алгебра

Если нам дана размера n × n матрица $A$ и хотим найти матрицу $J$ в форме , аналогичной жордановой нормальной $A$нас интересуют только множества линейно независимых обобщенных собственных векторов. Матрица в жордановой нормальной форме — это «почти диагональная матрица», то есть максимально близкая к диагонали. матрица Диагональная $D$ является частным случаем матрицы в жордановой нормальной форме. Обычный собственный вектор является частным случаем обобщенного собственного вектора.

Каждая размера n × n матрица $A$ имеет n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Обобщенные собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям , линейно независимы. Если $\lambda$ является собственным значением $A$ алгебраической кратности $\mu$, затем $A$ будет иметь $\mu$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие $\lambda$.

Для любой заданной размера n × n матрицы $A$, существует бесконечно много способов выбрать n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Если они выбраны особенно разумным образом, мы можем использовать эти векторы, чтобы показать, что $A$ аналогична матрице в жордановой нормальной форме. В частности,

Определение: Набор из n линейно независимых обобщенных собственных векторов является каноническим базисом, если он полностью состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга m находится в каноническом базисе, из этого следует, что m − 1 векторов $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$ которые находятся в жордановой цепочке, порожденной $\mathbf {x} _{m}$ также находятся в канонической основе.

Расчет

Позволять $\lambda _{i}$ быть собственным значением $A$ алгебраической кратности $\mu _{i}$. Сначала находим ранги (ранги матриц) матриц $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$. Целое число $m_{i}$ определяется как первое целое число , для которого $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ имеет ранг $n-\mu _{i}$ ( n — количество строк или столбцов $A$, то есть, $A$ это n × n ).

Теперь определите

$\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).$

Переменная $\rho _{k}$ обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k (ранг обобщенного собственного вектора; см. обобщенный собственный вектор ), соответствующих собственному значению $\lambda _{i}$ который появится в канонической основе для $A$. Обратите внимание, что

$\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.$

После того, как мы определили количество обобщенных собственных векторов каждого ранга, которые имеет канонический базис, мы можем получить векторы явно (см. Обобщенный собственный вектор ).

Пример

Этот пример иллюстрирует канонический базис с двумя жордановыми цепями. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка довольно сложно. Матрица

$A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}$

имеет собственные значения $\lambda _{1}=4$ и $\lambda _{2}=5$ с алгебраическими кратностями $\mu _{1}=4$ и $\mu _{2}=2$, но геометрические кратности $\gamma _{1}=1$ и $\gamma _{2}=1$.

Для $\lambda _{1}=4,$ у нас есть $n-\mu _{1}=6-4=2,$

$(A-4I)$ имеет ранг 5,

$(A-4I)^{2}$ имеет ранг 4,

$(A-4I)^{3}$ имеет ранг 3,

$(A-4I)^{4}$ имеет 2 ранг.

Поэтому $m_{1}=4.$

$\rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,$

$\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,$

$\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,$

$\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.$

Таким образом, каноническая основа $A$ будет иметь, соответствующий $\lambda _{1}=4,$ по одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 4, 3, 2 и 1.

Для $\lambda _{2}=5,$ у нас есть $n-\mu _{2}=6-2=4,$

$(A-5I)$ имеет ранг 5,

$(A-5I)^{2}$ имеет 4 ранг.

Поэтому $m_{2}=2.$

$\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,$

$\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.$

Таким образом, каноническая основа $A$ будет иметь, соответствующий $\lambda _{2}=5,$ по одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 2 и 1.

Каноническое основание для $A$ является

$\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.$

$\mathbf {x} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{1}$. $\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}$ и $\mathbf {x} _{4}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с $\lambda _{1}$. $\mathbf {y} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{2}$. $\mathbf {y} _{2}$ является обобщенным собственным вектором, связанным с $\lambda _{2}$.

Матрица $J$ в жордановой нормальной форме, аналогичной $A$ получается следующим образом:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},$

$J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},$

где матрица $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$ и $AM=MJ$.

См. также

• Каноническая форма
• Изменение базы
• Нормальная основа
• Нормальная форма (значения)
• Полиномиальный базис

Ссылки

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN   70097490
• Дэн, Бангмин; Джу, Цзе; Паршалл, Брайан; Ван, Цзяньпан (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы , Математические обзоры и монографии, том. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  9780821875315
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристализация q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260, Бибкод : 1990CMaPh.133..249K , doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN   0010 -3616 , МР   1090425 , S2CID   121695684
• Кашивара, Масаки (1991), «О кристаллических базисах q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Duke Mathematical Journal , 63 (2): 465–516, doi : 10.1215/S0012-7094-91-06321-0 , ISSN   0012-7094 , МР   1115118
• Люстиг, Джордж (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990961 , MR   1035415
• Люстиг, Джордж (1991), «Колчаны, извращенные пучки и квантованные обертывающие алгебры», Журнал Американского математического общества , 4 (2): 365–421, doi : 10.2307/2939279 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   2939279 , MR   1088333
• Люстиг, Джордж (1993), Введение в квантовые группы , Бостон, Массачусетс: Birkhauser Boston, ISBN  0-8176-3712-5 , МР   1227098
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646