Каноническая основа

В математике канонический базис — это базис алгебраической структуры , которая является канонической в том смысле, который зависит от конкретного контекста:

В координатном пространстве и, в более общем смысле, в свободном модуле , это относится к стандартному базису , определяемому дельтой Кронекера .
В кольце полиномов это относится к его стандартному базису, заданному мономами , $(X^{i})_{i}$ .
Для конечных полей расширения это означает полиномиальный базис .
В линейной алгебре это относится к набору из n линейно независимых обобщенных собственных векторов размера n × n. матрицы $A$ , если множество целиком состоит из жордановых цепей . ^[1]
В теории представлений это относится к базису квантовых групп , введенных Люстигом.

Теория представлений [ править ]

Канонический базис неприводимых представлений квантованной обертывающей алгебры тип $ADE$ а также плюсовая часть этой алгебры была введена Люстигом ^[2]к два метода: алгебраический (с использованием действия группы кос и базисов PBW) и топологический. (с использованием когомологий пересечения). Специализация параметра $q$ к $q=1$ дает канонический базис для неприводимых представлений соответствующей простой алгебры Ли, которая была ранее не известно. Специализация параметра $q$ к $q=0$ дает что-то вроде тени основы. Эта тень (но не сам базис) для случая неприводимых представлений рассматривался Касиварой независимо; ^[3]его иногда называют кристаллической основой . Определение канонической основы было распространено Кашиварой на сеттинг Кац-Муди. ^[4] (алгебраическим методом) и Люстига ^[5] (топологическим методом).

Существует общая концепция, лежащая в основе этих баз:

Рассмотрим кольцо целых полиномов Лорана ${\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]$ с двумя его подкольцами ${\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]$ и автоморфизм ${\overline {\cdot }}$ определяется ${\overline {v}}:=v^{-1}$ .

Доканоническая структура на свободном ${\mathcal {Z}}$ -модуль $F$ состоит из

Стандартная основа $(t_{i})_{i\in I}$ из $F$ ,
Интервальный конечный частичный порядок на $I$ , то есть, $(-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}$ конечен для всех $i\in I$ ,
Операция дуализации, т. е. биекция $F\to F$ второго порядка, то есть ${\overline {\cdot }}$ - полулинейный и будет обозначаться через ${\overline {\cdot }}$ также.

Если задана доканоническая структура, то можно определить ${\mathcal {Z}}^{\pm }$ субмодуль ${\textstyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$ из $F$ .

Тогда канонической основой доканонической структуры является ${\mathcal {Z}}$ -базис $(c_{i})_{i\in I}$ из $F$ что удовлетворяет:

${\overline {c_{i}}}=c_{i}$ и
$c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ and }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}$

для всех $i\in I$ .

Можно показать, что для каждой доканонической структуры существует не более одного канонического базиса. ^[6] Достаточным условием существования является то, что многочлены $r_{ij}\in {\mathcal {Z}}$ определяется ${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ удовлетворить $r_{ii}=1$ и $r_{ij}\neq 0\implies i\leq j$ .

Канонический базис индуцирует изоморфизм из $\textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}$ к $F^{+}/vF^{+}$ .

Хедж-алгебры [ править ]

Позволять $(W,S)$ быть группой Кокстера . Соответствующая алгебра Ивахори-Гекке $H$ имеет стандартную основу $(T_{w})_{w\in W}$ группа частично упорядочена порядком Брюа , который является конечным интервалом и имеет операцию дуализации, определяемую формулой ${\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}$ . Это доканоническая структура $H$ удовлетворяющее достаточному условию, указанному выше, и соответствующему каноническому базису $H$ is the Kazhdan–Lusztig basis

C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}

с $P_{y,w}$ being the Kazhdan–Lusztig polynomials .

Линейная алгебра [ править ]

Если нам дана n × n матрица размера $A$ и хотим найти матрицу $J$ в нормальной форме , аналогичной жордановой $A$ нас интересуют только множества линейно независимых обобщенных собственных векторов. Матрица в жордановой нормальной форме — это «почти диагональная матрица», то есть максимально близкая к диагонали. Диагональная матрица $D$ является частным случаем матрицы в жордановой нормальной форме. Обычный собственный вектор является частным случаем обобщенного собственного вектора.

Каждая n × n матрица размера $A$ имеет n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Обобщенные собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям , линейно независимы. Если $\lambda$ является собственным значением $A$ алгебраической кратности $\mu$ , затем $A$ будет $\mu$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие $\lambda$ .

Для любой заданной n × n матрицы размера $A$ , существует бесконечно много способов выбрать n линейно независимых обобщенных собственных векторов. Если они выбраны особенно разумным образом, мы можем использовать эти векторы, чтобы показать, что $A$ аналогична матрице в жордановой нормальной форме. В частности,

Определение: Набор из n линейно независимых обобщенных собственных векторов является каноническим базисом , если он полностью состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга m находится в каноническом базисе, из этого следует, что m − 1 векторов $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$ которые находятся в жордановой цепочке, порожденной $\mathbf {x} _{m}$ также находятся в канонической основе. ^[7]

Вычисление [ править ]

Позволять $\lambda _{i}$ быть собственным значением $A$ алгебраической кратности $\mu _{i}$ . Сначала находим ранги (ранги матриц) матриц $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ . Целое число $m_{i}$ определяется как первое целое число , для которого $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ имеет ранг $n-\mu _{i}$ ( n — количество строк или столбцов $A$ , то есть, $A$ это n × n ).

Теперь определите

\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).

Переменная $\rho _{k}$ обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k (ранг обобщенного собственного вектора; см. обобщенный собственный вектор ), соответствующих собственному значению $\lambda _{i}$ который появится в канонической основе для $A$ . Обратите внимание, что

\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.

После того, как мы определили количество обобщенных собственных векторов каждого ранга, которые имеет канонический базис, мы можем получить векторы явно (см. Обобщенный собственный вектор ). ^[8]

Пример [ править ]

Этот пример иллюстрирует канонический базис с двумя жордановыми цепями. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно. ^[9] Матрица

A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}

имеет собственные значения $\lambda _{1}=4$ и $\lambda _{2}=5$ с алгебраическими кратностями $\mu _{1}=4$ и $\mu _{2}=2$ , но геометрические кратности $\gamma _{1}=1$ и $\gamma _{2}=1$ .

Для $\lambda _{1}=4,$ у нас есть $n-\mu _{1}=6-4=2,$

(A-4I)

имеет ранг 5,

(A-4I)^{2}

имеет ранг 4,

(A-4I)^{3}

имеет ранг 3,

(A-4I)^{4}

имеет 2 ранг.

Поэтому $m_{1}=4.$

\rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,

\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,

\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,

\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.

Таким образом, каноническая основа $A$ будет иметь, соответствующий $\lambda _{1}=4,$ по одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 4, 3, 2 и 1.

Для $\lambda _{2}=5,$ у нас есть $n-\mu _{2}=6-2=4,$

(A-5I)

имеет ранг 5,

(A-5I)^{2}

имеет ранг 4.

Поэтому $m_{2}=2.$

\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,

\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.

Таким образом, каноническая основа $A$ будет иметь, соответствующий $\lambda _{2}=5,$ по одному обобщенному собственному вектору каждого ранга 2 и 1.

Каноническое основание для $A$ является

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.

$\mathbf {x} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{1}$ . $\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}$ и $\mathbf {x} _{4}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с $\lambda _{1}$ . $\mathbf {y} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{2}$ . $\mathbf {y} _{2}$ является обобщенным собственным вектором, связанным с $\lambda _{2}$ .

Матрица $J$ в жордановой нормальной форме, аналогичной $A$ получается следующим образом:

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},

J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},

где матрица $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$ и $AM=MJ$ . ^[10]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN 70097490
Дэн, Бангмин; Джу, Цзе; Паршалл, Брайан; Ван, Цзяньпан (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы , Математические обзоры и монографии, том. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 9780821875315
Кашивара, Масаки (1990), «Кристализация q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260, Bibcode : 1990CMaPh.133..249K , doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN 0010 -3616 , МР 1090425 , S2CID 121695684
Кашивара, Масаки (1991), «О кристаллических базисах q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Duke Mathematical Journal , 63 (2): 465–516, doi : 10.1215/S0012-7094-91-06321-0 , ISSN 0012-7094 , МР 1115118
Люстиг, Джордж (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 1990961 , MR 1035415
Люстиг, Джордж (1991), «Колчаны, извращенные пучки и квантованные обертывающие алгебры», Журнал Американского математического общества , 4 (2): 365–421, doi : 10.2307/2939279 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 2939279 , MR 1088333
Люстиг, Джордж (1993), Введение в квантовые группы , Бостон, Массачусетс: Birkhauser Boston, ISBN 0-8176-3712-5 , МР 1227098
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646

[1] Бронсон (1970 , стр. 196)

[2] Пока я не ленюсь (1990)

[3] Кашивара (1990)

[4] Кашивара (1991)

[5] Пока я не ленюсь (1991)

[6] Люстиг (1993 , стр. 194)

[7] Бронсон (1970 , стр. 196, 197)

[8] Бронсон (1970 , стр. 197, 198)

[9] Неринг (1970 , стр. 122, 123)

[10] Бронсон (1970 , стр. 203)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]