Мономиальный базис

В математике мономиальным базисом кольца полиномов является его базис (в виде пространства или свободного модуля над полем или кольцом коэффициентов векторного ), состоящий из всех мономов . Мономы образуют базис, поскольку каждый многочлен можно однозначно записать как конечную линейную комбинацию мономов (это непосредственное следствие определения многочлена).

Один неопределенный

Кольцо полиномов $K [x]$ одномерных многочленов над полем $K$ является $K$ -векторным пространством, которое имеет $1,x,x^{2},x^{3},\ldots$ как (бесконечный) базис. В более общем смысле, если $K$ — кольцо , то $K [x]$ — свободный модуль , имеющий тот же базис.

Полиномы степени не выше $d$ образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), которое имеет $\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}$ в качестве основы.

Канонической формой многочлена является его выражение на этом основании: $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},$ или, используя более короткую сигма-нотацию : $\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.$

Мономиальный базис, естественно , полностью упорядочен либо по возрастанию степени $1<x<x^{2}<\cdots ,$ или по убывающей степени $1>x>x^{2}>\cdots .$

Несколько неопределенных

В случае нескольких неопределенных $x_{1},\ldots ,x_{n},$ моном - это произведение $x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},$ где $d_{i}$ являются неотрицательными целыми числами . Как $x_{i}^{0}=1,$ показатель степени, равный нулю, означает, что соответствующая неопределённость не входит в моном; в частности $1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}$ является мономом.

Как и в случае одномерных полиномов, полиномы в $x_{1},\ldots ,x_{n}$ образуют векторное пространство (если коэффициенты принадлежат полю) или свободный модуль (если коэффициенты принадлежат кольцу), имеющий в качестве основы множество всех мономов, называемый мономиальным базисом .

Однородные многочлены степени $d$ образуют подпространство , имеющее мономы степени $d=d_{1}+\cdots +d_{n}$ в качестве основы. Размерность этого подпространства равна числу мономов степени $d$ , что ${\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},$ где ${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$ является биномиальным коэффициентом .

Полиномы степени не более $d$ образуют также подпространство, имеющее мономы степени не выше $d$ в качестве основы. Число этих мономов есть размерность этого подпространства, равная ${\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.$

В отличие от одномерного случая, в многомерном случае не существует естественного полного порядка мономиального базиса. Для задач, требующих выбора полного порядка, таких как вычисления на основе базиса Грёбнера , обычно выбирают допустимый мономиальный порядок , то есть полный порядок на множестве мономов такой, что $m<n\iff mq<nq$ и $1\leq m$ для каждого монома $m,n,q.$

См. также