Модальная матрица

В линейной алгебре модальная матрица используется в процессе диагонализации, включающем собственные значения и собственные векторы .

В частности, модальная матрица $M$ для матрицы $A$ — матрица размера n × n , сформированная из собственных векторов $A$ как столбцы в $M$. Он используется при преобразовании подобия.

$D=M^{-1}AM,$

где $D$ представляет собой n × n диагональную матрицу размера с собственными значениями $A$ на главной диагонали $D$ и нули в другом месте. Матрица $D$ называется спектральной матрицей для $A$. Собственные значения должны располагаться слева направо, сверху вниз в том же порядке, в котором соответствующие им собственные векторы располагаются слева направо в $M$.

Пример

Матрица

$A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}$

имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы

$\lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),$

$\lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),$

$\lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).$

Диагональная матрица $D$, похоже на $A$ является

$D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Один из возможных вариантов обратимой матрицы. $M$ такой, что $D=M^{-1}AM,$ является

$M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.$

Обратите внимание: поскольку собственные векторы сами по себе не уникальны и поскольку столбцы обоих $M$ и $D$ можно поменять местами, то из этого следует, что оба $M$ и $D$ не являются уникальными.

Обобщенная модальная матрица

Позволять $A$ быть матрицей размера n × n . матрица Обобщенная модальная $M$ для $A$ представляет собой матрицу размера n × n , столбцы которой, рассматриваемые как векторы, образуют канонический базис для $A$ и появиться в $M$ по следующим правилам:

• Все жордановые цепочки , состоящие из одного вектора (т. е. одного вектора длиной), появляются в первых столбцах таблицы. $M$.
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах $M$.
• Каждая цепочка появляется в $M$ в порядке возрастания ранга (т. е. обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. д.).

Можно показать, что

$AM=MJ,$ ( 1 )

где $J$ — матрица в жордановой нормальной форме . Предварительно умножив на $M^{-1}$, мы получаем

$J=M^{-1}AM.$ ( 2 )

Обратите внимание, что при вычислении этих матриц уравнение ( 1 ) является самым простым для проверки из двух уравнений, поскольку оно не требует обращения матрицы.

Пример

Этот пример иллюстрирует обобщенную модальную матрицу с четырьмя цепями Жордана. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно. Матрица

$A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}$

имеет единственное собственное значение $\lambda _{1}=1$ с алгебраической кратностью $\mu _{1}=7$. Каноническое основание для $A$ будет состоять из одного линейно независимого обобщенного собственного вектора ранга 3 (generalized Eigenvector Rank; см. обобщенный собственный вектор ), двух ранга 2 и четырех ранга 1; или, что то же самое, одна цепочка из трех векторов $\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$, одна цепочка из двух векторов $\left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}$, и две цепочки одного вектора $\left\{\mathbf {z} _{1}\right\}$, $\left\{\mathbf {w} _{1}\right\}$.

«Почти диагональная» матрица $J$ в жордановой нормальной форме , аналогичной $A$ получается следующим образом:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},$

$J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},$

где $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$, столбцы $M$ являются канонической основой $A$, и $AM=MJ$. Обратите внимание: поскольку обобщенные собственные векторы сами по себе не уникальны и поскольку некоторые столбцы обоих $M$ и $J$ можно поменять местами, то из этого следует, что оба $M$ и $J$ не являются уникальными.

Ссылки

• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN  0-395-14017-Х
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN   70097490
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646