Обобщенный собственный вектор

Не путать с обобщенной проблемой собственных значений .

В линейной алгебре обобщенный собственный вектор $n\times n$ матрица $A$ — это вектор , который удовлетворяет определенным критериям, которые более мягкие, чем критерии для (обычного) собственного вектора .

Позволять $V$ быть $n$-мерное векторное пространство и пусть $A$ быть матричным представлением линейной карты из $V$ к $V$ относительно некоторого упорядоченного базиса .

Не всегда может существовать полный набор $n$ линейно независимые собственные векторы $A$ которые составляют полную основу для $V$. То есть матрица $A$ не может быть диагонализируемым . Это происходит, когда алгебраическая кратность хотя бы одного собственного значения $\lambda _{i}$ больше своей геометрической кратности ( нулевой матрицы $(A-\lambda _{i}I)$или размерность его нулевого пространства ). В этом случае, $\lambda _{i}$ называется дефектным собственным значением и $A$ называется дефектной матрицей .

Обобщенный собственный вектор $x_{i}$ соответствующий $\lambda _{i}$, вместе с матрицей $(A-\lambda _{i}I)$ порождают жорданову цепочку линейно независимых обобщенных собственных векторов, образующих базис инвариантного подпространства $V$.

Используя обобщенные собственные векторы, набор линейно независимых собственных векторов $A$ при необходимости может быть расширен до полной основы для $V$. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы». $J$ в форме , аналогичной жордановой нормальной $A$, что полезно при вычислении некоторых матричных функций $A$. Матрица $J$ также полезен при решении системы линейных дифференциальных уравнений $\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$ где $A$ не обязательно должна быть диагонализируемой.

Размерность обобщенного собственного пространства, соответствующего данному собственному значению $\lambda$ – алгебраическая кратность $\lambda$.

Обзор и определение

Существует несколько эквивалентных способов определения обычного собственного вектора . Для наших целей собственный вектор $\mathbf {u}$ связанный с собственным значением $\lambda$ из $n$ × $n$ матрица $A$ – ненулевой вектор, для которого $(A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$, где $I$ это $n$ × $n$ идентификационная матрица и $\mathbf {0}$ – нулевой вектор длины $n$. То есть, $\mathbf {u}$ в ядре трансформации находится $(A-\lambda I)$. Если $A$ имеет $n$ линейно независимые собственные векторы, то $A$ аналогична диагональной матрице $D$. То есть существует обратимая матрица $M$ такой, что $A$ диагонализуема посредством преобразования подобия $D=M^{-1}AM$. Матрица $D$ называется спектральной матрицей для $A$. Матрица $M$ называется модальной матрицей для $A$. Диагонализуемые матрицы представляют особый интерес, поскольку их матричные функции легко вычисляются.

С другой стороны, если $A$ не имеет $n$ линейно независимые собственные векторы, связанные с ним, то $A$ не диагонализируема.

Определение: вектор $\mathbf {x} _{m}$ — обобщенный собственный вектор ранга m матрицы $A$ и соответствующий собственному значению $\lambda$ если

$(A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0}$

но

$(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .$

Ясно, что обобщенный собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором. Каждый $n$ × $n$ матрица $A$ имеет $n$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, связанные с ним, и можно показать, что они аналогичны «почти диагональной» матрице. $J$ в жордановой нормальной форме. То есть существует обратимая матрица $M$ такой, что $J=M^{-1}AM$. Матрица $M$ в этом случае называется обобщенной модальной матрицей для $A$. Если $\lambda$ является собственным значением алгебраической кратности $\mu$, затем $A$ будет иметь $\mu$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие $\lambda$. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют простой метод вычисления некоторых матричных функций $A$.

Примечание: Для $n\times n$ матрица $A$ над полем $F$ быть выражены в жордановой нормальной форме, все собственные значения $A$ должно быть в $F$. То есть характеристический полином $f(x)$ должны полностью учитываться в линейных факторах. Например, если $A$ имеет элементы с действительным знаком , то может потребоваться, чтобы собственные значения и компоненты собственных векторов имели комплексные значения .

Множество, натянутое на все обобщенные собственные векторы для данного $\lambda$ образует обобщенное собственное пространство для $\lambda$.

Примеры

Вот несколько примеров, иллюстрирующих концепцию обобщенных собственных векторов. Некоторые детали будут описаны позже.

Пример 1

Этот пример простой, но ясно иллюстрирует суть. Этот тип матрицы часто используется в учебниках. Предполагать

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Тогда имеется только одно собственное значение, $\lambda =1$, а его алгебраическая кратность равна $m=2$.

Обратите внимание, что эта матрица находится в жордановой нормальной форме, но не является диагональной . Следовательно, эта матрица недиагонализуема. Поскольку существует одна супердиагональная запись, будет один обобщенный собственный вектор ранга больше 1 (или можно отметить, что векторное пространство $V$ имеет размерность 2, поэтому может существовать не более одного обобщенного собственного вектора ранга больше 1). В качестве альтернативы можно вычислить размерность нулевого пространства $A-\lambda I$ быть $p=1$, и, таким образом, существуют $m-p=1$ обобщенные собственные векторы ранга больше 1.

Обыкновенный собственный вектор $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ вычисляется как обычно (примеры см. на странице собственных векторов ). Используя этот собственный вектор, мы вычисляем обобщенный собственный вектор $\mathbf {v} _{2}$ решив

$(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.$

Записываем значения:

$\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.$

Это упрощает

$v_{22}=1.$

Элемент $v_{21}$ не имеет ограничений. Тогда обобщенный собственный вектор ранга 2 равен $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$, где a может иметь любое скалярное значение. Выбор a = 0 обычно является самым простым.

Обратите внимание, что

$(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},$

так что $\mathbf {v} _{2}$ является обобщенным собственным вектором, поскольку

$(A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

так что $\mathbf {v} _{1}$ является обычным собственным вектором, и что $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ линейно независимы и, следовательно, составляют основу векторного пространства $V$.

Пример 2

Этот пример более сложен, чем Пример 1 . К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно. Матрица

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}$

имеет собственные значения $\lambda _{1}=1$ и $\lambda _{2}=2$ с алгебраическими кратностями $\mu _{1}=2$ и $\mu _{2}=3$, но геометрические кратности $\gamma _{1}=1$ и $\gamma _{2}=1$.

Обобщенные собственные пространства $A$ рассчитываются ниже. $\mathbf {x} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{1}$. $\mathbf {x} _{2}$ является обобщенным собственным вектором, связанным с $\lambda _{1}$. $\mathbf {y} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{2}$. $\mathbf {y} _{2}$ и $\mathbf {y} _{3}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с $\lambda _{2}$.

$(A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

$(A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},$

$(A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

$(A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},$

$(A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.$

В результате получается базис для каждого из обобщенных собственных пространств $A$.Вместе две цепочки обобщенных собственных векторов охватывают пространство всех 5-мерных векторов-столбцов.

$\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.$

«Почти диагональная» матрица $J$ в жордановой нормальной форме , аналогичной $A$ получается следующим образом:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},$

$J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},$

где $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$, столбцы $M$ являются канонической основой $A$, и $AM=MJ$.

Иорданские цепи

Определение: Пусть $\mathbf {x} _{m}$ — обобщенный собственный вектор ранга m, соответствующий матрице $A$ и собственное значение $\lambda$. Цепочка , созданная $\mathbf {x} _{m}$ представляет собой набор векторов $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$ данный

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},$
$\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},$
$\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},$

$\vdots$

$\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.$

( 1 )

где $\mathbf {x} _{1}$всегда является обычным собственным вектором с заданным собственным значением $\lambda$. Таким образом, в целом

$\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).$ ( 2 )

Вектор $\mathbf {x} _{j}$, заданный ( 2 ), является обобщенным собственным вектором ранга j, соответствующим собственному значению $\lambda$. Цепь — это линейно независимый набор векторов.

Каноническая основа

Основная статья: Канонический базис § Линейная алгебра

Определение: Набор из n линейно независимых обобщенных собственных векторов является каноническим базисом, если он полностью состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга m находится в каноническом базисе, из этого следует, что m − 1 векторов $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$ которые находятся в жордановой цепочке, порожденной $\mathbf {x} _{m}$ также находятся в канонической основе.

Позволять $\lambda _{i}$ быть собственным значением $A$ алгебраической кратности $\mu _{i}$. Сначала находим ранги (ранги матриц) матриц $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$. Целое число $m_{i}$ определяется как первое целое число , для которого $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ имеет ранг $n-\mu _{i}$ ( n — количество строк или столбцов $A$, то есть, $A$ это n × n ).

Теперь определите

$\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).$

Переменная $\rho _{k}$ обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k, соответствующих собственному значению $\lambda _{i}$ который появится в канонической основе для $A$. Обратите внимание, что

$\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n$.

Вычисление обобщенных собственных векторов

В предыдущих разделах мы видели методы получения $n$ линейно независимые обобщенные собственные векторы канонического базиса векторного пространства $V$ связанный с $n\times n$ матрица $A$. Эти методы можно объединить в одну процедуру:

Решите уравнение характеристическое $A$ для собственных значений $\lambda _{i}$ и их алгебраические кратности $\mu _{i}$;

Для каждого $\lambda _{i}:$

Определять $n-\mu _{i}$;

Определять $m_{i}$;

Определять $\rho _{k}$ для $(k=1,\ldots ,m_{i})$;

Определите каждую жорданову цепь для $\lambda _{i}$;

Пример 3

Матрица

$A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}$

имеет собственное значение $\lambda _{1}=5$ алгебраической кратности $\mu _{1}=3$ и собственное значение $\lambda _{2}=4$ алгебраической кратности $\mu _{2}=1$. У нас также есть $n=4$. Для $\lambda _{1}$ у нас есть $n-\mu _{1}=4-3=1$.

$(A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.$

$(A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.$

$(A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.$

Первое целое число $m_{1}$ для чего $(A-5I)^{m_{1}}$ имеет ранг $n-\mu _{1}=1$ является $m_{1}=3$.

Теперь мы определяем

$\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,$

$\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,$

$\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщенных собственных вектора; по одному ранга 3, 2 и 1. Поскольку $\lambda _{1}$ соответствует одной цепочке из трех линейно независимых обобщенных собственных векторов, мы знаем, что существует обобщенный собственный вектор $\mathbf {x} _{3}$ ранга 3, соответствующего $\lambda _{1}$ такой, что

$(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0}$ ( 3 )

но

$(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .$ ( 4 )

Уравнения ( 3 ) и ( 4 ) представляют собой линейные системы , которые можно решить относительно $\mathbf {x} _{3}$. Позволять

$\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.$

Затем

$(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

и

$(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Таким образом, чтобы удовлетворить условиям ( 3 ) и ( 4 ), мы должны иметь $x_{34}=0$ и $x_{33}\neq 0$. Никаких ограничений не накладывается $x_{31}$ и $x_{32}$. Выбрав $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$, мы получаем

$\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$

как обобщенный собственный вектор ранга 3, соответствующий $\lambda _{1}=5$. Заметим, что можно получить бесконечно много других обобщенных собственных векторов ранга 3, выбирая разные значения $x_{31}$, $x_{32}$ и $x_{33}$, с $x_{33}\neq 0$. Наш первый выбор, однако, самый простой.

Теперь, используя уравнения ( 1 ), получаем $\mathbf {x} _{2}$ и $\mathbf {x} _{1}$ как обобщенные собственные векторы ранга 2 и 1 соответственно, где

$\mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},$

и

$\mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Простое собственное значение $\lambda _{2}=4$ с ним можно справиться стандартными методами , и он имеет обычный собственный вектор.

$\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.$

Каноническое основание для $A$ является

$\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.$

$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}$ и $\mathbf {x} _{3}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с $\lambda _{1}$, пока $\mathbf {y} _{1}$ - обычный собственный вектор, связанный с $\lambda _{2}$.

Это довольно простой пример. В целом цифры $\rho _{k}$ линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга $k$ не всегда будет равным. То есть может быть несколько цепочек разной длины, соответствующих тому или иному собственному значению.

Обобщенная модальная матрица

Основная статья: Обобщенная модальная матрица

Позволять $A$ быть матрицей размера n × n . матрица Обобщенная модальная $M$ для $A$ представляет собой матрицу размера n × n , столбцы которой, рассматриваемые как векторы, образуют канонический базис для $A$ и появиться в $M$ по следующим правилам:

• Все жордановые цепочки, состоящие из одного вектора (т. е. одного вектора длиной), появляются в первых столбцах таблицы. $M$.
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах $M$.
• Каждая цепочка появляется в $M$ в порядке возрастания ранга (т. е. обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. д.).

Джордан в нормальной форме

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются блоками Жордана.

Основная статья: Нормальная форма Джордана

Позволять $V$ быть n -мерным векторным пространством; позволять $\phi$ быть линейным отображением в L ( V ) , набором всех линейных отображений из $V$ в себя; и пусть $A$ быть матричным представлением $\phi$ относительно некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический полином $f(\lambda )$ из $A$ факторы в линейные факторы, так что $f(\lambda )$ имеет форму

$f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},$

где $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ являются различными собственными значениями $A$, то каждый $\mu _{i}$ - алгебраическая кратность соответствующего собственного значения $\lambda _{i}$ и $A$ похоже на матрицу $J$ в жордановой нормальной форме , где каждый $\lambda _{i}$ появляется $\mu _{i}$ последовательные разы по диагонали и запись непосредственно над каждым $\lambda _{i}$ (то есть на супердиагонали ) равно либо 0, либо 1: в каждом блоке запись выше первого вхождения каждого $\lambda _{i}$ всегда равен 0 (кроме первого блока); все остальные элементы на супердиагонали равны 1. Все остальные элементы (то есть вне диагонали и супердиагонали) равны 0. (Но никакой порядок между собственными значениями или между блоками для данного собственного значения не налагается.) Матрица $J$ настолько близок, насколько это возможно, к диагонализации $A$. Если $A$ диагонализуема, то все элементы выше диагонали равны нулю. Обратите внимание, что в некоторых учебниках они расположены на поддиагонали , то есть сразу под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения все еще находятся на главной диагонали.

Каждая размера n × n матрица $A$ похоже на матрицу $J$ в жордановой нормальной форме, полученной преобразованием подобия $J=M^{-1}AM$, где $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$. (См. примечание выше.)

Пример 4

Найдите матрицу в жордановой нормальной форме, подобную

$A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.$

Решение: характеристическое уравнение $A$ является $(\lambda -2)^{3}=0$, следовательно, $\lambda =2$ является собственным значением алгебраической кратности три. Следуя процедурам предыдущих разделов, мы находим, что

$\operatorname {rank} (A-2I)=1$

и

$\operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .$

Таким образом, $\rho _{2}=1$ и $\rho _{1}=2$, что означает, что канонический базис для $A$ будет содержать один линейно независимый обобщенный собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщенных собственных вектора ранга 1 или, что то же самое, одну цепочку из двух векторов $\left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$ и одна цепочка одного вектора $\left\{\mathbf {y} _{1}\right\}$. Обозначение $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}$, мы находим это

$M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},$

и

$J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},$

где $M$ является обобщенной модальной матрицей для $A$, столбцы $M$ являются канонической основой $A$, и $AM=MJ$. Обратите внимание: поскольку обобщенные собственные векторы сами по себе не уникальны и поскольку некоторые столбцы обоих $M$ и $J$ можно поменять местами, то из этого следует, что оба $M$ и $J$ не являются уникальными.

Пример 5

В примере 3 мы нашли канонический базис линейно независимых обобщенных собственных векторов матрицы $A$. Обобщенная модальная матрица для $A$ является

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная $A$ является

$J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},$

так что $AM=MJ$.

Приложения

Матричные функции

Основная статья: Матричная функция

Тремя наиболее фундаментальными операциями, которые можно выполнять с квадратными матрицами, являются сложение матриц, умножение на скаляр и умножение матриц. Это именно те операции, которые необходимы для определения полиномиальной функции n × n. матрицы размера $A$. Если мы вспомним из основ исчисления , что многие функции можно записать в виде ряда Маклорена , то мы сможем довольно легко определить более общие функции матриц. Если $A$ диагонализуема, т.е.

$D=M^{-1}AM,$

с

$D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},$

затем

$D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}$

и оценка ряда Маклорена для функций $A$ значительно упрощается. Например, чтобы получить любую степень k числа $A$, нам нужно только вычислить $D^{k}$, предварительно умножить $D^{k}$ к $M$и умножить результат на $M^{-1}$.

Используя обобщенные собственные векторы, мы можем получить жорданову нормальную форму для $A$ и эти результаты можно обобщить до прямого метода вычисления функций недиагонализуемых матриц. (См. Матричную функцию#Разложение Джордана .)

Дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

$\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$ ( 5 )

где

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},$      и      $A=(a_{ij}).$

Если матрица $A$ является диагональной матрицей, так что $a_{ij}=0$ для $i\neq j$, то система ( 5 ) сводится к системе n уравнений, имеющих вид

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

$\vdots$

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}.$

( 6 )

В этом случае общее решение имеет вид

$x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}$

$x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}$

$\vdots$

$x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.$

В общем случае пытаемся диагонализировать $A$ и сведем систему ( 5 ) к системе типа ( 6 ) следующим образом. Если $A$ диагонализуема, имеем $D=M^{-1}AM$, где $M$ является модальной матрицей для $A$. Замена $A=MDM^{-1}$, уравнение ( 5 ) принимает вид $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$, или

$\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,$ ( 7 )

где

$\mathbf {x} =M\mathbf {y} .$ ( 8 )

Решение ( 7 ) есть

$y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}$

$y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}$

$\vdots$

$y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.$

Решение $\mathbf {x}$ ( 5 ) затем получается с использованием соотношения ( 8 ).

С другой стороны, если $A$ не диагонализуемо, выбираем $M$ быть обобщенной модальной матрицей для $A$, такой, что $J=M^{-1}AM$ является нормальной формой Жордана $A$. Система $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$ имеет форму

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}$

( 9 )

где $\lambda _{i}$ — собственные значения главной диагонали $J$ и $\epsilon _{i}$ – это единицы и нули супердиагонали $J$. Система ( 9 ) зачастую решается легче, чем ( 5 ). Мы можем решить последнее уравнение в ( 9 ) для $y_{n}$, получение $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$. Затем мы заменим это решение на $y_{n}$ в предпоследнее уравнение в ( 9 ) и найдите $y_{n-1}$. Продолжая эту процедуру, проходим через ( 9 ) от последнего уравнения к первому, решая всю систему для $\mathbf {y}$. Решение $\mathbf {x}$ затем получается с использованием соотношения ( 8 ).

Лемма:

Учитывая следующую цепочку обобщенных собственных векторов длины $r,$

$X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}$

$X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}$

$X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}$

$\vdots$

$X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}$,

эти функции решают систему уравнений,

$X'=AX.$

Доказательство:

Определять

$X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.$

Затем,

$X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}$.

С другой стороны, у нас есть

$AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}$

$=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})$

$=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}$

$=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}$

$=X'_{j}(t)$

по мере необходимости.

Ссылки

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-84819-0
• Экслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-98258-8 .
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN  0-395-14017-Х
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN   70097490
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт , ISBN  0-534-93219-3
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN   66021267
• Франклин, Джоэл Н. (1968), Теория матриц , Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл , LCCN   68016345
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN  0-8018-5414-8
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN  0-13-487538-9
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-50728-8
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646