Ядро (линейная алгебра)
В математике ядро которую , линейной карты также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой часть (или линейное подпространство ) области , карта отображает в нулевой вектор. [1] То есть, если задано линейное отображение L : V → W между двумя векторными пространствами V и W , ядро L является векторным пространством всех элементов v из V таких, что L ( v ) = 0 , где 0 обозначает нулевой вектор в В , [2] или более символично:
Свойства [ править ]
Ядро L является линейным подпространством области V . [3] [2] На линейной карте два элемента V имеют одинаковый образ в W тогда и только тогда, когда их разница лежит в ядре L , т. е.
образ L изоморфен Отсюда следует , фактору V по что ядру:
Когда V — пространство внутреннего продукта , фактор можно отождествить с дополнением в V ортогональным Это обобщение линейных операторов пространства строк или кообраза матрицы.
Приложение к модулям [ править ]
Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , , которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры являются элементами кольца а не поля . Областью отображения является модуль, ядро которого представляет собой подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.
В функциональном анализе [ править ]
Если V и W — топологические векторные пространства такие, что W конечномерно, то линейный оператор L : V → W непрерывен тогда и только тогда, когда ядро L является замкнутым подпространством V .
Представление в виде умножения матриц [ править ]
Рассмотрим линейную карту, представленную в виде размером m × n матрицы A с коэффициентами в поле K (обычно или ), который работает с векторами-столбцами x с n компонентами над K .Ядром этого линейного отображения является множество решений уравнения A x = 0 , где под 0 понимается нулевой вектор . Размерность ядра A называется нульностью A . В обозначениях построителя множеств ,
Матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений :
Таким образом, ядро A такое же, как и набор решений приведенных выше однородных уравнений.
Свойства подпространства [ править ]
Ядро размера m × n матрицы A над полем K является линейным подпространством в K н . То есть ядро A , множество Null( A ), имеет следующие три свойства:
- Null( A ) всегда содержит нулевой вектор , поскольку A 0 = 0 .
- Если x ∈ Null( A ) и y ∈ Null( A ) , то x + y ∈ Null( A ) . Это следует из дистрибутивности умножения матриц над сложением.
- Если x ∈ Null( A ) и c скаляр x c ∈ K , то c x ∈ Null( ) , поскольку A ( c x ) = c ( A A ) = c 0 = 0 .
Пространство строк матрицы [ править ]
Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом:
Здесь a 1 , ... , am обозначают строки матрицы A . Отсюда следует, что x находится в ядре A тогда и только тогда, когда x ортогонален . (или перпендикулярен) каждому из векторов-строок A (поскольку ортогональность определяется как наличие скалярного произведения, равного 0)
Пространство строк или кообраз матрицы A — это диапазон векторов-строк A. матрицы По приведенным выше рассуждениям ядро A является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор x лежит в ядре A тогда и только тогда, когда он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк A .
Размерность пространства строк A называется рангом A A. ядра A называется нульностью а размерность , Эти величины связаны теоремой о ранге – недействительности [4]
Левое пустое пространство [ править ]
Левое нулевое пространство , или коядро , матрицы A состоит из всех векторов-столбцов x таких, что x Т А = 0 Т , где T обозначает транспонирование матрицы. Левое нулевое пространство A совпадает с ядром A. Т . Левое нулевое пространство A является ортогональным дополнением к пространству столбцов A и двойственно к коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство A — это четыре фундаментальных подпространства, с матрицей A. связанных
Неоднородные системы линейных уравнений [ править ]
Ядро также играет роль при решении неоднородной системы линейных уравнений:
Если u и v — два возможных решения приведенного выше уравнения, то
Таким образом, разность любых двух решений уравнения A x = b лежит в ядре A .
Отсюда следует, что любое решение уравнения A x = b можно выразить как сумму фиксированного решения v и произвольного элемента ядра. То есть решение уравнения A x = b равно
Геометрически это говорит о том, что решение, заданное для A x = b, представляет собой сдвиг ядра A на вектор v . См. также альтернативу Фредгольма и плоскую (геометрию) .
Иллюстрация [ править ]
Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже, где описаны методы, лучше подходящие для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.
Рассмотрим матрицу
Ядро этой матрицы состоит из всех векторов ( x , y , z ) ∈ R 3 для чего
которую можно выразить как однородную систему линейных уравнений, включающую x , y и z :
Те же линейные уравнения можно записать и в матричной форме:
Путем исключения Гаусса–Жордана матрицу можно свести к:
Переписав матрицу в форме уравнения, получим:
Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической векторной форме следующим образом:
Поскольку c — свободная переменная, охватывающая все действительные числа, это можно одинаково хорошо выразить следующим образом:
Ядро A - это в точности набор решений этих уравнений (в данном случае линия , проходящая через начало координат в R 3 ). Здесь, поскольку вектор (−1,−26,16) Т составляет основу ядра A . Нульность A равна 1.
Следующие скалярные произведения равны нулю:
который иллюстрирует, что векторы в ядре A ортогональны каждому из векторов-строок A .
Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк A — плоскость, ортогональную вектору (−1,−26,16). Т .
С рангом 2 A , нульностью 1 A и размерностью 3 A мы имеем иллюстрацию теоремы о недействительности ранга.
Примеры [ править ]
- Если Л : Р м → Р н , то ядро L является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как на рисунке выше, если L — оператор: то ядро L — это множество решений уравнений
- Обозначим через C [0,1] векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] и определим L : C [0,1] → R по правилу Тогда ядро L состоит из всех функций f ∈ C [0,1] , для которых f (0.3) = 0 .
- Пусть С ∞ ( R ) — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций R → R , и пусть D : C ∞ ( р ) → С ∞ ( R ) — оператор дифференцирования : Тогда ядро D состоит из всех функций из C ∞ ( R ), чьи производные равны нулю, т.е. набор всех постоянных функций .
- Пусть Р ∞ будет прямым произведением бесконечного числа копий R , и пусть s : R ∞ → Р ∞ быть оператором смены Тогда ядром s является одномерное подпространство, состоящее из всех векторов ( x 1 , 0, 0, 0, ...) .
- Если V — пространство внутреннего произведения , а W — подпространство, ядро ортогональной проекции V → W является ортогональным дополнением к W в V .
методом исключения Вычисление Гаусса
Базис ядра матрицы может быть вычислен методом исключения Гаусса .
Для этого по размера m × n матрице A сначала строим дополненную по строкам матрицу где I — n × n единичная матрица размера .
Вычислив ее форму эшелона столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получим матрицу Базис ядра A состоит из ненулевых столбцов C, таких, что соответствующий столбец B является нулевым столбцом .
Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица примет форму эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, порожденного столбцами, верхняя часть которых равна нулю.
Например, предположим, что
Затем
Помещение верхней части в форму эшелона столбцов с помощью операций со столбцами на всей матрице дает
Последние три столбца B являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора C ,
являются основой ядра A .
Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции со столбцами соответствуют послеумножению на обратимые матрицы, тот факт, что сводится к означает, что существует обратимая матрица такой, что с в форме эшелона столбцов. Таким образом и Вектор-столбец принадлежит ядру (то есть ) тогда и только тогда, когда где Как находится в форме эшелона столбцов, тогда и только тогда, когда ненулевые записи соответствуют нулевым столбцам Умножив на , можно заключить, что это так тогда и только тогда, когда представляет собой линейную комбинацию соответствующих столбцов
Численные вычисления [ править ]
Задача вычисления ядра на компьютере зависит от природы коэффициентов.
Точные коэффициенты [ править ]
Если коэффициенты матрицы представляют собой точно заданные числа, ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейсса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще эффективнее использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , которая сводит задачу к нескольким аналогичным над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности целочисленного умножения). [ нужна ссылка ]
Для коэффициентов в конечном поле хорошо работает метод исключения Гаусса, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях по базису Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно ту же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше ведут себя с современным компьютерным оборудованием . [ нужна ссылка ]
Вычисление с плавающей запятой [ править ]
Для матриц, элементами которых являются числа с плавающей запятой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, у которых количество строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг. , даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы можно вычислить ее ядро только в том случае, если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности . [5] [ нужна ссылка ]
Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод исключения Гаусса работает неправильно: он вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack . [ нужна ссылка ]
См. также [ править ]
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Ядро» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ядро (нулевое пространство) | Блестящая вики по математике и естественным наукам» . блестящий.орг . Проверено 9 декабря 2019 г.
- ^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в лэйях Лэя 2005 , Мейера 2001 и лекциях Стрэнга.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о недействительности ранга» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. Проверено 14 апреля 2015 г.
{{cite web}}
: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
Библиография [ править ]
- Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 .
- Лэй, Дэвид К. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7 .
- Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
- Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3 .
- Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International.
- Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
- Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Спрингер. ISBN 9780387964126 .
- Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид III (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 .