Форма эшелона строк

В линейной алгебре матрица если находится в виде звеньев строк, ее можно получить в результате исключения Гаусса . Каждую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк, применив последовательность элементарных операций над строками . Термин эшелон происходит от французского échelon («уровень» или ступенька лестницы) и относится к тому факту, что ненулевые элементы матрицы в форме эшелона строк выглядят как перевернутая лестница.

Для квадратных матриц верхняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на диагонали имеет форму эшелона строк, а матрица в форме эшелона строк является (слабо) верхнетреугольной. Таким образом, ступенчатую форму строк можно рассматривать как обобщение верхнетреугольной формы для прямоугольных матриц.

Матрица находится в форме уменьшенного эшелона строк, если она находится в форме эшелона строк, с дополнительным свойством, заключающимся в том, что первая ненулевая запись каждой строки равна $1$ и является единственной ненулевой записью в своем столбце. Приведенная ступенчатая форма матрицы уникальна и не зависит от последовательности элементарных операций над строками, использованных для ее получения. Вариант исключения Гаусса , который преобразует матрицу в форму уменьшенного звена строк, иногда называют исключением Гаусса – Жордана .

Матрица находится в форме эшелона столбцов , если ее транспонирование имеет форму эшелона строк. Поскольку все свойства ступенчатых форм столбцов могут быть немедленно выведены из соответствующих свойств ступенчатых форм строк, в оставшейся части статьи рассматриваются только ступенчатые формы строк.

(Общая) форма эшелона строк

Матрица находится в форме звена строк, если

• Все строки, содержащие только нулевые записи, находятся внизу.
• Ведущая запись (т. е. самая левая ненулевая запись) каждой ненулевой строки, называемая опорной точкой , находится справа от ведущей записи каждой строки выше.

В некоторых текстах добавляется условие, что старший коэффициент должен быть равен 1. в то время как другие требуют этого только в форме сокращенного эшелона строк .

Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце ниже старшего коэффициента являются нулями.

Ниже приведен пример $4\times 5$ матрица в виде эшелона строк, а не в виде сокращенного эшелона строк (см. ниже):

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]$

Многие свойства матриц можно легко вывести из их ступенчатой ​​формы, например ранг и ядро .

Уменьшенная форма эшелона строк

Матрица находится в сокращенной форме эшелона строк (также называемой канонической формой строк ), если она удовлетворяет следующим условиям:

• Он имеет форму эшелона строк.
• Ведущая запись в каждой ненулевой строке равна 1 (называемой ведущей).
• Каждый столбец, содержащий ведущую единицу, имеет нули во всех остальных записях.

Если первые два условия проверены, последнее условие эквивалентно:

• Каждый столбец, содержащий ведущую 1, имеет нули во всех записях выше ведущей 1 .

Хотя матрица может иметь несколько эшелонированных форм, ее сокращенная эшелонированная форма уникальна.

Учитывая матрицу в форме сокращенного эшелона строк, если переставить столбцы так, чтобы можно получить матрицу в i-м столбце была ведущая 1 из i-й строки , вида

${\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},$

где I - единичная матрица размерности $j$ равен рангу всей матрицы, X — матрица с $j$ ряды и $n-j$ столбцы, а два 0 — это нулевые матрицы соответствующего размера. Поскольку перестановка столбцов не является операцией над строками, результирующая матрица неэквивалентна элементарным операциям со строками. В методе исключения Гаусса это соответствует перестановке неизвестных в исходной линейной системе, которая допускает линейную параметризацию пространства строк, в которой первые $j$ коэффициенты не ограничены, а остальные $n-j$ определяются как их линейные комбинации.

Системы линейных уравнений

Говорят, что система линейных уравнений имеет звено строк , если ее расширенная матрица имеет звено строк. Точно так же говорят, что система линейных уравнений находится в форме сокращенного звена строк или в канонической форме, если ее расширенная матрица находится в форме сокращенного звена строк.

Каноническую форму можно рассматривать как явное решение линейной системы. В действительности система несовместна тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонического вида приведено к 0 = 1; стоит ведущая 1 то есть, если в столбце постоянных членов В противном случае, перегруппировав в правой части все члены уравнений, кроме ведущих, выразим переменные, соответствующие опорным точкам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.

Преобразование в форму звена строк

Основная статья: исключение Гаусса

Исключение Гаусса — это основной алгоритм преобразования каждой матрицы в матрицу в форме звена строк. Вариант, иногда называемый исключением Гаусса – Джордана, дает уменьшенную форму эшелона строк. Оба состоят из конечной последовательности элементарных операций над строками ; количество требуемых элементарных операций над строками не превышает mn для матрицы размером m x n . Для данной матрицы, несмотря на то, что форма эшелона строк не уникальна, все формы эшелона строк, включая сокращенную форму эшелона строк, имеют одинаковое количество нулевых строк, а центральные точки расположены в одних и тех же положениях.

Это пример матрицы в форме уменьшенного эшелона строк, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

Для матрицы с целыми коэффициентами нормальная форма Эрмита представляет собой форму звена строк, которую можно вычислить без введения знаменателя, используя евклидово деление или тождество Безу . Сокращенная ступенчатая форма матрицы с целочисленными элементами обычно содержит нецелочисленные элементы из-за необходимости деления на старший коэффициент каждой строки ступенчатой ​​формы.

Неединственность эшелонированной формы матрицы следует из того, что некоторые элементарные операции над строками преобразуют матрицу в виде эшелона строк в другую ( эквивалентную ) матрицу, которая также находится в форме эшелона строк. Эти элементарные операции над строками включают умножение строки на ненулевой скаляр и добавление скаляра, кратного строке, к одной из строк над ней. Например:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

В этом примере уникальную форму сокращенного эшелона строк можно получить, вычитая три раза вторую строку из первой строки:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

Аффинные пространства приведенных ступенчатых форм

В этом и следующем разделах мы обозначаем расположение столбцов, содержащих ведущие записи последовательных строк $k\times n$ матрица $A$ в форме уменьшенного эшелона строк (основные точки), как $(L_{1},\dots ,L_{j})$, с

$0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,$

где $j\leq k$ - размерность пространства строк матрицы. Данные $(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ будем формой называть $A$, который имеет ведущие ненулевые записи $\{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}$, записи в столбце $L_{i}$ выше и ниже него исчезают, а также все те, что слева от него в той же строке, а также все записи в $i$й ряд для $i>j$:

${\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.$

Поскольку все остальные записи являются произвольными элементами базового поля $K$, набор $A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ всех приведенных ступенчатых матриц формы с формой $(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ является K -аффинным пространством размерности

${\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.$

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что из $nj$ возможные записи матрицы в пределах первого $j$ ряды, $j^{2}$ определяются как $0$'песок $1$потому что они в столбцах $(L_{1},\dots ,L_{j})$ содержащий шарниры. Дальнейшее $\sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)$ также обязаны быть $0$, потому что они слева от шарниров, а из них,

$\sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)$

также есть в столбцах $(L_{1},\dots ,L_{j})$. Следовательно, общее количество незафиксированных записей будет равно $0$ или $1$ является

$nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.$

Максимальный ранг: клетки Шуберта

Эшелонную форму строк можно использовать для конкретного описания ячеек Шуберта, с грассманианом связанных $k$-мерные подпространства векторного пространства .

Если $j=k\leq n$, матрицы $A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})$ имеют максимальный ранг $k$, и определить $k$-мерные подпространства $w\subset V$ свободных $K$-модуль $V:=K^{n}$, как промежуток

$w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$

линейных комбинаций

$W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k$

элементарных базисных векторов $(e_{1},\dots ,e_{n})$,с коэффициентами, равными векторам-строкам. В этом случае аффинное пространство $A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})$ это ячейка Шуберта $X_{\lambda }({\mathcal {V}})$ грассманиана ​ $\mathbf {Gr} _{k}(V)$, состоящий из $k$-мерные подпространства $V$ соответствующий целочисленному разделу

$\lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)$

с частями, равными

$\lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,$

относительно полного флага

${\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),$

где

$V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.$

Это означает, что $X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоит из тех $k$-мерные подпространства $w\subset V$ пересечения которых с подпространствами $\{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}$ иметь размеры

${\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.$

Тогда его размер равен весу $|\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}$ раздела

$\dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.$

Эквивалентная, но более простая характеристика ячейки Шуберта. $X_{\lambda }({\mathcal {V}})$ может быть задано с помощью двойного полного флага

${\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),$

где

${\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.$

Затем $X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоит из тех $k$-мерные подпространства $w\subset V$ которые имеют основу $({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})$состоящий из элементов

${\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k$

подпространств $\{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}$ которые относительно стандартного базиса являются векторами-строками $(W_{k},\dots ,W_{1})$ формы звена строки, записанной в обратном порядке.

Ссылки

• Леон, Стивен Дж. (2010), Линч, Дейдра; Хоффман, Уильям; Челано, Кэролайн (ред.), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN  978-0-13-600929-0 Говорят , что матрица находится в форме эшелона строк (i) Если первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке равен 1. (ii) Если строка k не состоит полностью из нулей, количество ведущих нулевых элементов в строке $k+1$ больше, чем количество ведущих нулевых записей в строке k . (iii) Если есть строки, все записи которых равны нулю, они находятся ниже строк, имеющих ненулевые записи. .
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN  978-0-89871-454-8 .

Внешние ссылки

• Интерактивная форма эшелона строк с рациональным выводом