Эквивалентность строк

В линейной алгебре две матрицы эквивалентны по строкам , если одну можно заменить на другую с помощью последовательности элементарных операций над строками . Альтернативно, две матрицы размера m × n эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк . Эта концепция чаще всего применяется к матрицам, которые представляют системы линейных уравнений , и в этом случае две матрицы одинакового размера эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений или, что то же самое, матрицы имеют одинаковый нулевой показатель. космос .

Поскольку элементарные операции над строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности . Обычно его обозначают тильдой ( ~).

Существует аналогичное понятие эквивалентности столбцов , определяемое элементарными операциями со столбцами; две матрицы эквивалентны по столбцам тогда и только тогда, когда их транспонированные матрицы эквивалентны по строкам. Две прямоугольные матрицы, которые могут быть преобразованы друг в друга, позволяя выполнять как элементарные операции со строками, так и со столбцами, называются просто эквивалентными .

Элементарные операции со строками

Элементарной операцией строки является любой из следующих ходов:

1. Обмен: поменять местами две строки матрицы.
2. Масштаб: умножьте строку матрицы на ненулевую константу.
3. Поворот: добавление числа, кратного одной строке матрицы, в другую строку.

Две матрицы A и B эквивалентны по строкам , если можно преобразовать A в B с помощью последовательности элементарных операций над строками.

Пространство строки

Основная статья: Рядовое пространство

Пространство строк матрицы — это набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений , то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые можно вывести алгебраически из уравнений в системе. Две матрицы размера m × n эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк.

Например, матрицы

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$

эквивалентны строкам, причем пространство строк представляет собой все векторы формы ${\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}$. Соответствующие системы однородных уравнений передают ту же информацию:

${\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}$

В частности, из обеих этих систем следует каждое уравнение вида $ax+by+bz=0.\,$

Эквивалентность определений

Тот факт, что две матрицы эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же пространство строк, является важной теоремой линейной алгебры. Доказательство основано на следующих наблюдениях:

1. Элементарные операции со строками не влияют на пространство строк матрицы. В частности, любые две эквивалентные матрицы имеют одинаковое пространство строк.
2. Любая матрица может быть сведена элементарными операциями над строками к матрице в виде сокращенного звена строк .
3. Две матрицы в форме сокращенного эшелона строк имеют одинаковое пространство строк тогда и только тогда, когда они равны.

Эта линия рассуждений также доказывает, что каждая матрица является строкой, эквивалентной уникальной матрице с уменьшенной формой эшелона строк.

Дополнительные свойства

• Поскольку нулевое пространство матрицы является ортогональным дополнением пространства строк , две матрицы эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же нулевое пространство.
• Ранг строк, поэтому матрицы, эквивалентные строкам , матрицы равен размерности пространства должны иметь одинаковый ранг. Это равно количеству поворотов в форме уменьшенного эшелона строк.
• Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее строка эквивалентна единичной матрице .
• Матрицы A и B эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица P такая, что A=PB .

См. также

• Элементарные операции со строками
• Пространство строки
• Базис (линейная алгебра)
• Сокращение строк
• (Уменьшенная) форма эшелона строк

Ссылки

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 135 (3-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. ISBN  978-0-387-72828-5 .