Матрица взвешивания

Не путать с Весовой матрицей .

Матрицы взвешивания называются так из-за их использования для оптимального измерения индивидуального веса нескольких объектов.

В математике матрица весовая порядка $n$ и вес $w$ это матрица $W$ с записями из набора $\{0,1,-1\}$ такой, что:

$WW^{\mathsf {T}}=wI_{n}$

Где $W^{\mathsf {T}}$ это транспонирование ​ $W$ и $I_{n}$ - единичная матрица порядка $n$. Вес $w$ также называется степенью матрицы. Для удобства весовая матрица порядка $n$ и вес $w$ часто обозначается $W(n,w)$.

Матрицы взвешивания называются так из-за их использования для оптимального измерения индивидуального веса нескольких объектов. Когда устройство для взвешивания представляет собой весы , статистическую дисперсию измерения можно свести к минимуму путем одновременного взвешивания нескольких объектов, включая некоторые объекты на противоположной чашке весов, где они вычитаются из измерения.

Характеристики

Некоторые свойства сразу же вытекают из определения. Если $W$ это $W(n,w)$, затем:

• Ряды $W$ попарно ортогональны . Аналогично, столбцы попарно ортогональны.
• Каждая строка и каждый столбец $W$ имеет точно $w$ ненулевые элементы.
• $W^{\mathsf {T}}W=wI$, поскольку определение означает, что $W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}$, где $W^{-1}$ является обратным ​ $W$.
• $\det W=\pm w^{n/2}$ где $\det W$ является определяющим фактором $W$.

Матрица взвешивания — это обобщение матрицы Адамара , которая не допускает нулевых элементов. В качестве двух частных случаев $W(n,n)$ является матрицей Адамара и $W(n,n-1)$ эквивалентно матрице конференции .

Приложения

Дизайн эксперимента

См. Также: План экспериментов § Пример.

Матрицы взвешивания получили свое название от проблемы измерения веса нескольких объектов. Если измерительное устройство имеет статистическую дисперсию $\sigma ^{2}$, затем измеряем веса $N$ объектов и вычитание (столь же неточного) веса тары приведет к окончательному измерению с отклонением $2\sigma ^{2}$. Можно повысить точность расчетного веса путем измерения различных подмножеств объектов, особенно при использовании весов , где объекты можно положить на противоположную мерную чашку, где они вычитают свой вес из измерения.

заказ $n$ матрица $W$ может использоваться для представления размещения $n$ предметы, включая вес тары, в $n$ испытания. Предположим, что левая чаша весов увеличивает измерение, а правая чаша вычитает из измерения. Каждый элемент этой матрицы $w_{ij}$ будет иметь:

$w_{ij}={\begin{cases}0&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was not measured}}\\1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the left pan}}\\-1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the right pan }}\\\end{cases}}$

Позволять $\mathbf {x}$ быть вектор-столбцом измерений каждого из $n$ испытания, пусть $\mathbf {e}$ — ошибки этих измерений, каждое из которых независимо и одинаково распределено с дисперсией $\sigma ^{2}$, и пусть $\mathbf {y}$ быть вектор-столбцом истинных весов каждого из $n$ объекты. Тогда у нас есть:

$\mathbf {x} =W\mathbf {y} +\mathbf {e}$

Предполагая, что $W$ не является сингулярным , мы можем использовать метод наименьших квадратов для вычисления оценки истинных весов:

$\mathbf {y} =(W^{T}W)^{-1}W\mathbf {x}$

Отклонение расчетной $\mathbf {y}$ вектор не может быть ниже $\sigma ^{2}/n$, и будет минимальным тогда и только тогда, когда $W$ является весовой матрицей.

Оптические измерения

Оптическая маска (3) на основе весовой матрицы используется при измерении спектра падающего света (4). В зависимости от соответствующего элемента матрицы свет либо поглощается, либо проходит на один из двух детекторов интенсивности (1,2).

в технике спектрометров Весовые матрицы появляются , сканеров изображений, и системы оптического мультиплексирования. Конструкция этих приборов включает оптическую маску и два детектора, измеряющих интенсивность света. Маска может либо передавать свет на первый детектор, поглощать его или отражать в сторону второго детектора. Измерение второго детектора вычитается из первого, и поэтому эти три случая соответствуют взвешиванию элементов матрицы 1, 0 и -1 соответственно. Поскольку это, по сути, та же проблема измерения, что и в предыдущем разделе, полезность весовых матриц также применима.

Примеры

Обратите внимание, что при отображении матриц взвешивания отображается символ $-$ используется для представления −1. Вот несколько примеров:

Это $W(2,2)$:

${\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$

Это $W(4,3)$:

${\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}$

Это $W(7,4)$:

${\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}$

Другой $W(7,4)$:

${\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}}$

Это циркулянт , то есть каждая строка представляет собой циклический сдвиг предыдущей строки. Такая матрица называется $CW(n,k)$ и определяется его первой строкой.Особый интерес представляют циркулянтные весовые матрицы, поскольку их алгебраическая структура облегчает их классификацию. Действительно, мы знаем, что циркулянтная весовая матрица порядка $n$ и вес $k$ должен иметь квадратный вес. Итак, веса $1,4,9,16,...$ допустимы и вес $k\leq 25$ были полностью засекречены. Двумя особыми (и фактически крайними) случаями циркулянтных весовых матриц являются (А) циркулянтные матрицы Адамара, которые, как предполагается, не существуют, если их порядок не меньше 5. Известно, что эта гипотеза, циркулянтная гипотеза Адамара, впервые выдвинутая Райзером, известна как верно для многих заказов, но все еще открыт . (Б) $CW(n,k)$ веса $k=s^{2}$ и минимальный заказ $n$ существовать, если $s$ является простой степенью , и такая циркулянтная весовая матрица может быть получена путем подписания дополнения к конечной проективной плоскости .Поскольку все $CW(n,k)$ для $k\leq 25$ были засекречены, первое открытое дело $CW(105,36)$.Первый открытый случай общей весовой матрицы (конечно, не циркулянта) — это $W(35,25)$.

Эквивалентность

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одну можно получить из другой серией перестановок и отрицаний строк и столбцов матрицы. Классификация весовых матриц завершена для случаев, когда $w\leq 5$ а также все случаи, когда $n\leq 15$ также завершены. Однако помимо этого было сделано очень мало, за исключением классификации циркулянтных весовых матриц.

Открытые вопросы

Есть много открытых вопросов по поводу взвешивания матриц. Основным вопросом о весовых матрицах является их существование: для каких значений $n$ и $w$ существует ли $W(n,w)$? Многое об этом неизвестно. Не менее важным, но часто упускаемым из виду вопросом о взвешивании матриц является их перечисление: для заданного $n$ и $w$, сколько $W(n,w)$они есть?

Этот вопрос имеет два разных значения. Перечисление с точностью до эквивалентности и перечисление разных матриц с одинаковыми параметрами n , k . Некоторые статьи были опубликованы по первому вопросу, но ни одна не была опубликована по второму важному вопросу.