Центросимметричная матрица

Схема симметрии центросимметричной матрицы 5 × 5

Эта статья о матрице, симметричной относительно своего центра. Чтобы узнать о матрице, симметричной относительно своей диагонали, см. Симметричную матрицу .

В математике , особенно в линейной алгебре и теории матриц , центросимметричная матрица — это матрица , симметричная относительно своего центра.

Формальное определение

Матрица n × n размера A = [ Ai _{является центросимметричной , , j} ] если ее элементы удовлетворяют условиям

$$A_{i,\,j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.$$

Альтернативно, если J обозначает n × n матрицу обмена размера с 1 на антидиагонали и 0 в других местах: $$J_{i,\,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}$$тогда матрица A центросимметрична тогда и только тогда, когда AJ = JA .

Примеры

• Все центросимметричные матрицы размера 2 × 2 имеют вид $${\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.$$
• Все центросимметричные матрицы размера 3 × 3 имеют вид $${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.$$
• Симметричные матрицы Теплица центросимметричны.

Алгебраическая структура и свойства

• Если A и B — F , то центросимметричные матрицы размера n × n над такими же являются A + B и cA для любого c из F. полем Более того, матричное произведение AB центросимметрично, поскольку JAB = AJB = ABJ . Поскольку единичная матрица также центросимметрична, отсюда следует, что набор центросимметричных матриц размера n × n над F образует подалгебру ассоциативной алгебры всех матриц размера n × n .
• Если A — центросимметричная матрица с m -мерным собственным базисом , то каждый из m собственных векторов может быть выбран так, чтобы они удовлетворяли либо x = J   x , либо x = − J   x, где J — матрица обмена.
• Если A — центросимметричная матрица с различными собственными значениями , то матрицы, коммутирующие с A, должны быть центросимметричными.
• Максимальное количество уникальных элементов в m × m равно центросимметричной матрице размера

${\frac {m^{2}+m{\bmod {2}}}{2}}.$

Связанные структуры

Матрица размера n × n если A называется косоцентросимметричной, ее элементы удовлетворяют условиям $$A_{i,\,j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.$$Эквивалентно, A является косоцентросимметричным, если AJ = − JA , где J — матрица обмена, определенная ранее.

Центросимметричное соотношение AJ = JA поддается естественному обобщению, где J заменяется инволютивной матрицей K (т. е. K ² = Я   ) или, в более общем смысле, матрица K, удовлетворяющая K ^м = I для целого числа m > 1 . обратная задача для коммутационного отношения AK = KA идентификации всех инволютивных K , коммутирующих с фиксированной матрицей A. Также изучалась

Симметричные центросимметричные матрицы иногда называют бисимметричными матрицами . Когда основным полем являются действительные числа , было показано, что бисимметричные матрицы — это именно те симметричные матрицы, собственные значения которых остаются неизменными, за исключением возможных изменений знака после предварительного или последующего умножения на матрицу обмена. Аналогичный результат справедлив для эрмитовых центросимметричных и косоцентросимметричных матриц.

Дальнейшее чтение

• Мьюир, Томас (1960). Трактат по теории определителей . Дувр. п. 19 . ISBN  0-486-60670-8 .
• Уивер, Джеймс Р. (1985). «Центросимметричные (кросс-симметричные) матрицы, их основные свойства, собственные значения и собственные векторы». Американский математический ежемесячник . 92 (10): 711–717. дои : 10.2307/2323222 . JSTOR   2323222 .

Внешние ссылки

• Центросимметричная матрица на MathWorld .