Коммутирующие матрицы

В линейной алгебре две матрицы $A$ и $B$ Говорят, что они коммутируют, если $AB=BA$или, что то же самое, если их коммутатор $[A,B]=AB-BA$ равен нулю. Набор ​ матриц $A_{1},\ldots ,A_{k}$ Говорят, что они коммутируют, если они коммутируют попарно, а это означает, что каждая пара матриц в наборе коммутирует.

Характеристики и свойства

• друг друга Коммутирующие матрицы сохраняют собственные пространства . Как следствие, коммутирующие матрицы над алгебраически замкнутым полем триангуляризуемы одновременно ; то есть существуют основания , над которыми они оба являются верхнетреугольными . Другими словами, если $A_{1},\ldots ,A_{k}$ коммутируют, существует матрица подобия $P$ такой, что $P^{-1}A_{i}P$ является верхнетреугольным для всех $i\in \{1,\ldots ,k\}$. Обратное не обязательно верно , как показывает следующий контрпример:

  ${\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.$

Однако если квадрат коммутатора двух матриц равен нулю, т.е. $[A,B]^{2}=0$, то верно обратное.

• Две диагонализуемые матрицы $A$ и $B$ добираться ( $AB=BA$), если они одновременно диагонализуемы (т. е. существует обратимая матрица $P$ такой, что оба $P^{-1}AP$ и $P^{-1}BP$ диагональные ) . Обратное также верно; то есть, если две диагонализуемые матрицы коммутируют, они одновременно диагонализуемы. Но если вы возьмете любые две коммутирующие матрицы (и не будете считать, что это две диагонализуемые матрицы), они будут одновременно диагонализуемы, если одна из матриц не имеет кратных собственных значений.
• Если $A$ и $B$ коммутируют, у них есть общий собственный вектор. Если $A$ имеет различные собственные значения и $A$ и $B$ ездить на работу, потом $A$собственные векторы $B$собственные векторы.
• Если одна из матриц обладает свойством, состоящим в том, что ее минимальный многочлен совпадает с ее характеристическим многочленом (т. е. имеет максимальную степень), что происходит, в частности, всякий раз, когда характеристический многочлен имеет только простые корни , то другую матрицу можно записать в виде полином в первом.
• Как прямое следствие одновременной триангулизируемости, собственные значения двух коммутирующих комплексных матриц A , B с их алгебраическими кратностями ( мультимножествами корней их характеристических многочленов) можно сопоставить как $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ таким образом, что мультимножество собственных значений любого многочлена $P(A,B)$ в двух матрицах представляет собой мультимножество значений $P(\alpha _{i},\beta _{i})$. Эта теорема принадлежит Фробениусу .
• Две эрмитовых матрицы коммутируют, если их собственные пространства совпадают. В частности, две эрмитовых матрицы без кратных собственных значений коммутируют, если они имеют один и тот же набор собственных векторов. Это следует из рассмотрения разложений по собственным значениям обеих матриц. Позволять $A$ и $B$ быть двумя эрмитовыми матрицами. $A$ и $B$ имеют общие собственные пространства, если их можно записать как $A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }$ и $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$. Отсюда следует, что

  $AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.$

• Свойство коммутации двух матриц не транзитивно : матрица $A$ может ездить с обоими $B$ и $C$и еще $B$ и $C$ не ездите друг с другом. Например, единичная матрица коммутирует со всеми матрицами, которые не все между собой коммутируют. Если набор рассматриваемых матриц ограничен эрмитовыми матрицами без кратных собственных значений, то коммутативность транзитивна как следствие характеризации в терминах собственных векторов.
• Теорему Ли , показывающую, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно триангуляризуемо сверху, можно рассматривать как обобщение.
• Матрица n × n размера $A$ коммутирует с любой другой матрицей размера n × n тогда и только тогда, когда она является скалярной матрицей, то есть матрицей вида $\lambda I$, где $I$ — единичная матрица размера n × n , а $\lambda$ является скаляром. Другими словами, центром группы n матриц размера × n при умножении является подгруппа скалярных матриц.
• Исправить конечное поле $\mathbb {F} _{q}$, позволять $P(n)$ обозначают количество упорядоченных пар коммутирующих $n\times n$ матрицы над $\mathbb {F} _{q}$, В. Фейт и Нью-Джерси Файн показал уравнение
  $$1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(n)}{(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})}}z^{n}=\prod _{i=1}^{\infty }\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{1-j}z^{i}}}.$$

Примеры

• Единичная матрица коммутирует со всеми матрицами.
• Жордановые блоки коммутируют с верхнетреугольными матрицами, имеющими одинаковые значения вдоль полос.
• Если произведение двух симметричных матриц симметрично, то они должны коммутировать. Это также означает, что каждая диагональная матрица коммутирует со всеми другими диагональными матрицами.
• Циркулянтные матрицы коммутируют. Они образуют коммутативное кольцо , поскольку сумма двух циркулянтных матриц является циркулянтом.

История

Понятие коммутирующих матриц было введено Кэли в его мемуарах по теории матриц, которые также обеспечили первую аксиоматизацию матриц. Первые существенные результаты о коммутирующих матрицах были доказаны Фробениусом в 1878 году.