Блочная матрица

В математике или блочная матрица секционированная матрица — это матрица , которая интерпретируется как разбитая на секции, называемые блоками или подматрицами . ^[1]^[2]

Интуитивно матрицу, интерпретируемую как блочную матрицу, можно визуализировать как исходную матрицу с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разделяют на набор меньших матриц. ^[3]^[2] Например, представленная ниже матрица 3x4 разделена горизонтальными и вертикальными линиями на четыре блока: верхний левый блок 2x3, верхний правый блок 2x1, нижний левый блок 1x3 и нижний правый блок 1x1.

\left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]

Любую матрицу можно интерпретировать как блочную матрицу одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как разделены ее строки и столбцы.

Это понятие можно уточнить для $n$ к $m$ матрица $M$ путем разделения $n$ в коллекцию ${\text{rowgroups}}$ , а затем разбиение $m$ в коллекцию ${\text{colgroups}}$ . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, что $(i,j)$ запись исходной матрицы соответствует 1 к 1 некоторым $(s,t)$ компенсационная запись некоторых $(x,y)$ , где $x\in {\text{rowgroups}}$ и $y\in {\text{colgroups}}$ . ^[4]

Алгебра блочных матриц обычно возникает из двойных произведений в категориях матриц. ^[5]

Пример

Матрица

\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}

можно представить разделенным на четыре блока, т.

\mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]

.

Горизонтальные и вертикальные линии не имеют особого математического значения. ^[6]^[7] но являются распространенным способом визуализации раздела. ^[6]^[7] По этому разделу $P$ разбит на четыре блока 2×2, так как

\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.

Тогда разделенную матрицу можно записать как

\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.

^[8]

Формальное определение

Позволять $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ . Разделение $A$ является представлением $A$ в форме

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}

,

где $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$ являются смежными подматрицами, $\sum _{i=1}^{p}m_{i}=m$ , и $\sum _{j=1}^{q}n_{j}=n$ . ^[9] Элементы $A_{ij}$ раздела называются блоками . ^[9]

Согласно этому определению, все блоки в любом столбце должны иметь одинаковое количество столбцов. ^[9] Аналогично, блоки в любой строке должны иметь одинаковое количество строк. ^[9]

Методы разделения

Матрицу можно разделить разными способами. ^[9] Например, матрица $A$ называется разделенным по столбцам, если оно записано как

A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})

,

где $a_{j}$ это $j$ й столбец $A$ . ^[9] Матрицу также можно разделить на строки :

A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}

,

где $a_{i}^{T}$ это $i$ й ряд $A$ . ^[9]

Общие разделы

Часто, ^[9] мы встречаем раздел 2x2

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}

, ^[9]

особенно в той форме, где $A_{11}$ является скаляром:

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}

. ^[9]

Блочные матричные операции

Транспонировать

Позволять

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}

где $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}$ . (Эта матрица $A$ будет повторно использоваться в § Сложении и § Умножении .) Тогда его транспонирование будет

A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}

, ^[9]^[10]

и то же уравнение справедливо с заменой транспонирования сопряженным транспонированием. ^[9]

Блокировать транспонирование

Для блочных матриц также можно определить специальную форму транспонирования , при которой отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Позволять $A=(B_{ij})$ быть $k\times l$ блочная матрица с $m\times n$ блоки $B_{ij}$ , транспонирование блока $A$ это $l\times k$ блочная матрица $A^{\mathcal {B}}$ с $m\times n$ блоки $\left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}$ . ^[11] Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блоков представляет собой линейное отображение такое, что $(A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}$ . ^[10] Однако в целом свойство $(AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}$ не выполняется, если только блоки $A$ и $C$ добираться.

Добавление

Позволять

B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}

,

где $B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$ , и пусть $A$ быть матрицей, определенной в § Транспонирование . (Эта матрица $B$ будет повторно использоваться в § Умножении .) Тогда, если $p=r$ , $q=s$ , $k_{i}=m_{i}$ , и $\ell _{j}=n_{j}$ , затем

A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}

. ^[9]

Умножение

Можно использовать матричное произведение с блочным разделением, которое включает в себя только алгебру подматриц факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует « соответствующих распределений». ^[12] между двумя матрицами $A$ и $B$ так, чтобы были определены все продукты подматрицы, которые будут использоваться. ^[13]

Две матрицы $A$ и $B$ называются конформно разделенными для произведения $AB$ , когда $A$ и $B$ разбиваются на подматрицы и если умножение $AB$ выполняется с обработкой подматриц, как если бы они были скалярами, но с сохранением порядка, и когда все произведения и суммы задействованных подматриц определены.
- Арак М. Матай и Ханс Дж. Хаубольд, Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров ^[14]

Позволять $A$ — матрица, определенная в § Транспонирование , и пусть $B$ быть матрицей, определенной в § Сложение . Тогда матричное произведение

C=AB

может выполняться поблочно, что дает $C$ как $(p\times s)$ матрица. Матрицы в полученной матрице $C$ рассчитываются путем умножения:

C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.

^[6]

Или, используя обозначение Эйнштейна , которое неявно суммирует по повторяющимся индексам:

C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.

изображая $C$ в качестве матрицы мы имеем

C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}

. ^[9]

Инверсия

Если матрица разделена на четыре блока, ее можно инвертировать поблочно следующим образом:

{P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},

где A и D — квадратные блоки произвольного размера, а B и C согласны с ними при разбиении. Более того, A и дополнение Шура к A в P : P / A = D − CA ⁻¹B должен быть обратимым. ^[15]

Аналогично, переставляя блоки:

{P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.

^[16]

Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A − BD ⁻¹C должен быть обратимым.

Если A и D оба обратимы, то:

{\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна , одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима ровно тогда, когда обратима другая.

Определитель

Формула определителя а $2\times 2$ Приведенная выше матрица продолжает сохраняться при соответствующих дальнейших предположениях для матрицы, состоящей из четырех подматриц. $A,B,C,D$ . Самая простая такая формула, которую можно доказать с помощью формулы Лейбница или факторизации с дополнением Шура , — это

\det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.

^[16]

Используя эту формулу, мы можем вывести полиномы характеристические ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ одинаковы и равны произведению характеристических многочленов $A$ и $D$ . Кроме того, если ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ или ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ диагонализуема , то $A$ и $D$ также диагонализуемы. Обратное неверно; просто проверьте ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ .

Если $A$ является обратимым , имеется

\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),

^[16]

и если $D$ обратима, имеется

\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).

^[17]^[16]

Если блоки представляют собой квадратные матрицы одинакового размера , дальнейшие формулы справедливы. Например, если $C$ и $D$ ездить на работу (т.е. $CD=DC$ ), затем

\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).

^[18]

Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие из более чем $2\times 2$ блоков, опять же при соответствующих условиях коммутативности между отдельными блоками. ^[19]

Для $A=D$ и $B=C$ , справедлива следующая формула (даже если $A$ и $B$ не ездить на работу)

\det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).

^[16]

Специальные типы блочных матриц

Прямые суммы и блочные диагональные матрицы

Прямая сумма

Для любых произвольных матриц A (размера m × n ) и B (размера p × q ) мы имеем сумму прямую A и B , обозначаемую A $\oplus$ B и определяется как

{A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.

^[10]

Например,

{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольной размерности (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).

Обратите внимание, что любой элемент прямой суммы двух векторных пространств матриц можно представить как прямую сумму двух матриц.

Блочные диагональные матрицы

Блочная диагональная матрица — это блочная матрица, представляющая собой квадратную матрицу , в которой блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все внедиагональные блоки являются нулевыми матрицами. ^[16] То есть блочно-диагональная матрица A имеет вид

{A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}

где A _k — квадратная матрица для всех k = 1,..., n . Другими словами, матрица A является прямой суммой A 1 _, ... An _, . ^[16] Его также можно обозначить как A ₁ ⊕ A ₂ ⊕ ... An _⊕^[10] или Diag( A ₁ , A ₂ , ... An _, ) ^[10] (последний представляет собой тот же формализм, который используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально считать блочной диагональной матрицей только с одним блоком.

Для определителя и следа выполняются следующие свойства:

{\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}

^[20]^[21] и

{\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}

^[16]^[21]

Блочная диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее блоков главной диагонали обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочной диагональной матрицей, заданной формулой

{\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.

^[22]

Собственные значения ^[23] и собственные векторы ${A}$ являются просто теми из ${A}_{k}$ комбинированное. ^[21]

Блочные трехдиагональные матрицы

Блочная трехдиагональная матрица — это еще одна специальная блочная матрица, которая, как и блочная диагональная матрица, представляет собой квадратную матрицу , имеющую квадратные матрицы (блоки) в нижней, главной и верхней диагонали, а все остальные блоки являются нулевыми матрицами. По сути, это трехдиагональная матрица , но вместо скаляров имеет подматрицы. Блочная трехдиагональная матрица $A$ имеет форму

{A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}

где ${A}_{k}$ , ${B}_{k}$ и ${C}_{k}$ — квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно. ^[24]^[25]

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). оптимизированные численные методы LU-факторизации. Доступны ^[26] и, следовательно, эффективные алгоритмы решения систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу , также может применяться с использованием матричных операций для блокировки трехдиагональных матриц (см. также Блочное LU-разложение ).

Блочные треугольные матрицы

Верхний блок треугольный

Матрица $A$ верхний блок треугольный (или блок верхний треугольный ^[27]) если

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$ . ^[23]^[27]

Нижний блок треугольный

Матрица $A$ является нижним блоком треугольным, если

A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$ . ^[23]

Блочные матрицы Теплица

Блочная матрица Теплица — это еще одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, повторяющиеся по диагонали матрицы, поскольку в матрице Теплица элементы повторяются по диагонали.

Матрица $A$ является блочным Теплицем, если $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ для всех $k-i=l-j$ , то есть,

A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}

,

где $A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}$ . ^[23]

Блочные матрицы Ханкеля

Матрица $A$ является блоком Ханкеля, если $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ для всех $i+j=k+l$ , то есть,

A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}

,

где $A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}$ . ^[23]

См. также

Произведение Кронекера (прямое произведение матрицы, приводящее к блочной матрице)
Жорданова нормальная форма (каноническая форма линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве)
Алгоритм Штрассена (алгоритм умножения матриц, который быстрее обычного алгоритма умножения матриц)

Примечания

^ Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Проверено 24 апреля 2013 г. Мы обнаружим, что иногда удобно разбить матрицу на прямоугольные блоки элементов. называемые секционированные или блочные матрицы Это заставляет нас рассмотреть так .
^ Jump up to: ^а ^б Добрушкин Владимир. «Матрицы разделов» . Линейная алгебра с Mathematica . Проверено 24 марта 2024 г.
^ Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 30. ISBN 0-471-58742-7 . Матрицу можно разделить на более мелкие матрицы, вставив горизонтальные и вертикальные правила между выбранными строками и столбцами.
^ Индумати, Д.; Сарала, С. (16 мая 2014 г.). «Анализ фрагментов и создание тестовых примеров с использованием F-меры для адаптивного случайного тестирования и адаптивного случайного тестирования на основе разделенных блоков» (PDF) . Международный журнал компьютерных приложений . 93 (6): 13. дои : 10.5120/16218-5662 .
^ Маседо, HD; Оливейра, JN (2013). «Типизация линейной алгебры: подход, ориентированный на два произведения». Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . дои : 10.1016/j.scico.2012.07.012 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джонстон, Натаниэль (2021). Введение в линейную и матричную алгебру . Чам, Швейцария: Springer Nature. стр. 30, 425. ISBN. 978-3-030-52811-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Джонстон, Натаниэль (2021). Продвинутая линейная и матричная алгебра . Чам, Швейцария: Springer Nature. п. 298. ИСБН 978-3-030-52814-0 .
^ Джеффри, Алан (2010). Матричные операции для инженеров и ученых: важное руководство по линейной алгебре . Дордрехт [Нидерланды] ; Нью-Йорк: Спрингер. п. 54. ИСБН 978-90-481-9273-1 . OCLC 639165077 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Стюарт, Гилберт В. (1998). Матричные алгоритмы. 1: Основные разложения . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. стр. 18–20. ISBN 978-0-89871-414-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Нежный, Джеймс Э. (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Тексты Спрингера в статистике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Электронные книги Springer New York Springer. стр. 47, 487. ISBN. 978-0-387-70873-7 .
^ Макки, Д. Стивен (2006). Структурированная линеаризация матричных полиномов (PDF) (Диссертация). Университет Манчестера. ISSN 1749-9097 . OCLC 930686781 .
^ Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Проверено 24 апреля 2013 г. называется соформным разбиением A Разбиение , и B. подобное теореме 1.9.4 ,
^ Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 36. ISBN 0-471-58742-7 . ...при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.
^ Матай, Аракапарампил М.; Хаубольд, Ханс Дж. (2017). Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров . Учебник Де Грюйтера. Берлин Бостон: Де Грюйтер. п. 162. ИСБН 978-3-11-056259-0 .
^ Бернштейн, Деннис (2005). Матричная математика . Издательство Принстонского университета. п. 44. ИСБН 0-691-11802-7 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Абадир, Карим М.; Магнус, Ян Р. (2005). Матричная алгебра . Издательство Кембриджского университета. стр. 100-1 97, 100, 106, 111, 114, 118. ISBN. 9781139443647 .
^ Табога, Марко (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре.
^ Сильвестр, младший (2000). «Определители блочных матриц» (PDF) . Математика. Газ . 84 (501): 460–467. дои : 10.2307/3620776 . JSTOR 3620776 . Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2015 г. Проверено 25 июня 2021 г.
^ Сотанафан, Нат (январь 2017 г.). «Определители блочных матриц с некоммутирующими блоками». Линейная алгебра и ее приложения . 512 : 202–218. arXiv : 1805.06027 . дои : 10.1016/j.laa.2016.10.004 . S2CID 119272194 .
^ Квартерони, Альфио; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000). Численная математика . Тексты по прикладной математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 10, 13. ISBN 978-0-387-98959-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джордж, Раджу К.; Аджаякумар, Абхиджит (2024). «Курс линейной алгебры» . Университетские тексты по математическим наукам : 35, 407. doi : 10.1007/978-981-99-8680-4 . ISBN 978-981-99-8679-8 . ISSN 2731-9318 .
^ Принс, Саймон Джей Ди (2012). Компьютерное зрение: модели, обучение и выводы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 531. ИСБН 978-1-107-01179-3 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 168, 298. ISBN. 978-0-691-14039-1 .
^ Дитль, Гвидо К.Е. (2007). Линейное оценивание и обнаружение в подпространствах Крылова . Основы обработки сигналов, коммуникаций и сетей. Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. стр. 85, 87. ISBN. 978-3-540-68478-7 . OCLC 85898525 .
^ Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2017). Матричный анализ (Второе издание, исправленное переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 36. ISBN 978-0-521-83940-2 .
^ Датта, Бисва Натх (2010). Численная линейная алгебра и приложения (2-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ. п. 168. ИСБН 978-0-89871-685-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Стюарт, Гилберт В. (2001). Матричные алгоритмы. 2: Собственные системы . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. п. 5. ISBN 978-0-89871-503-3 .

Ссылки

Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы» . Программное обеспечение открытого курса MIT. 18:30–21:10.

[1] Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Проверено 24 апреля 2013 г. Мы обнаружим, что иногда удобно разбить матрицу на прямоугольные блоки элементов. называемые секционированные или блочные матрицы Это заставляет нас рассмотреть так .

[:8-2] Jump up to: ^а ^б Добрушкин Владимир. «Матрицы разделов» . Линейная алгебра с Mathematica . Проверено 24 марта 2024 г.

[3] Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 30. ISBN 0-471-58742-7 . Матрицу можно разделить на более мелкие матрицы, вставив горизонтальные и вертикальные правила между выбранными строками и столбцами.

[4] Индумати, Д.; Сарала, С. (16 мая 2014 г.). «Анализ фрагментов и создание тестовых примеров с использованием F-меры для адаптивного случайного тестирования и адаптивного случайного тестирования на основе разделенных блоков» (PDF) . Международный журнал компьютерных приложений . 93 (6): 13. дои : 10.5120/16218-5662 .

[5] Маседо, HD; Оливейра, JN (2013). «Типизация линейной алгебры: подход, ориентированный на два произведения». Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . дои : 10.1016/j.scico.2012.07.012 .

[:3-6] Jump up to: ^а ^б ^с Джонстон, Натаниэль (2021). Введение в линейную и матричную алгебру . Чам, Швейцария: Springer Nature. стр. 30, 425. ISBN. 978-3-030-52811-9 .

[:4-7] Jump up to: ^а ^б Джонстон, Натаниэль (2021). Продвинутая линейная и матричная алгебра . Чам, Швейцария: Springer Nature. п. 298. ИСБН 978-3-030-52814-0 .

[8] Джеффри, Алан (2010). Матричные операции для инженеров и ученых: важное руководство по линейной алгебре . Дордрехт [Нидерланды] ; Нью-Йорк: Спрингер. п. 54. ИСБН 978-90-481-9273-1 . OCLC 639165077 .

[:2-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Стюарт, Гилберт В. (1998). Матричные алгоритмы. 1: Основные разложения . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. стр. 18–20. ISBN 978-0-89871-414-2 .

[:1-10] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Нежный, Джеймс Э. (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Тексты Спрингера в статистике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Электронные книги Springer New York Springer. стр. 47, 487. ISBN. 978-0-387-70873-7 .

[11] Макки, Д. Стивен (2006). Структурированная линеаризация матричных полиномов (PDF) (Диссертация). Университет Манчестера. ISSN 1749-9097 . OCLC 930686781 .

[12] Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0 . Проверено 24 апреля 2013 г. называется соформным разбиением A Разбиение , и B. подобное теореме 1.9.4 ,

[13] Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 36. ISBN 0-471-58742-7 . ...при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.

[14] Матай, Аракапарампил М.; Хаубольд, Ханс Дж. (2017). Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров . Учебник Де Грюйтера. Берлин Бостон: Де Грюйтер. п. 162. ИСБН 978-3-11-056259-0 .

[15] Бернштейн, Деннис (2005). Матричная математика . Издательство Принстонского университета. п. 44. ИСБН 0-691-11802-7 .

[:0-16] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Абадир, Карим М.; Магнус, Ян Р. (2005). Матричная алгебра . Издательство Кембриджского университета. стр. 100-1 97, 100, 106, 111, 114, 118. ISBN. 9781139443647 .

[17] Табога, Марко (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре.

[18] Сильвестр, младший (2000). «Определители блочных матриц» (PDF) . Математика. Газ . 84 (501): 460–467. дои : 10.2307/3620776 . JSTOR 3620776 . Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2015 г. Проверено 25 июня 2021 г.

[19] Сотанафан, Нат (январь 2017 г.). «Определители блочных матриц с некоммутирующими блоками». Линейная алгебра и ее приложения . 512 : 202–218. arXiv : 1805.06027 . дои : 10.1016/j.laa.2016.10.004 . S2CID 119272194 .

[20] Квартерони, Альфио; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000). Численная математика . Тексты по прикладной математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 10, 13. ISBN 978-0-387-98959-4 .

[:6-21] Jump up to: ^а ^б ^с Джордж, Раджу К.; Аджаякумар, Абхиджит (2024). «Курс линейной алгебры» . Университетские тексты по математическим наукам : 35, 407. doi : 10.1007/978-981-99-8680-4 . ISBN 978-981-99-8679-8 . ISSN 2731-9318 .

[22] Принс, Саймон Джей Ди (2012). Компьютерное зрение: модели, обучение и выводы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 531. ИСБН 978-1-107-01179-3 .

[:5-23] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 168, 298. ISBN. 978-0-691-14039-1 .

[24] Дитль, Гвидо К.Е. (2007). Линейное оценивание и обнаружение в подпространствах Крылова . Основы обработки сигналов, коммуникаций и сетей. Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. стр. 85, 87. ISBN. 978-3-540-68478-7 . OCLC 85898525 .

[25] Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2017). Матричный анализ (Второе издание, исправленное переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 36. ISBN 978-0-521-83940-2 .

[26] Датта, Бисва Натх (2010). Численная линейная алгебра и приложения (2-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ. п. 168. ИСБН 978-0-89871-685-6 .

[:7-27] Jump up to: ^а ^б Стюарт, Гилберт В. (2001). Матричные алгоритмы. 2: Собственные системы . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. п. 5. ISBN 978-0-89871-503-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

v т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория

v т и Матричные классы
Явно ограниченные записи	Чередование Антидиагональ антиэрмитовский Антисимметричный наконечник стрелы Группа двуугольный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный логическое значение Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамара Сопозитивный Диагональная доминанта Диагональ Дискретное преобразование Фурье элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Приобретение эрмитовский Хессенберг Пустой Целое число Логический Матричный блок Мецлер Мур Неотрицательный Пятиугольный перестановка Персимметричный Полиномиальный кватернионный Подпись косо-эрмитовский Кососимметричный Горизонт Редкий Сильвестр Симметричный Тёплиц Треугольный Трехдиагональный Вандермонд Уолш С
Постоянный	Обмен Гильберт Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Ноль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Конвергентный Дефектный Определенный Диагонализуемый Гурвиц Положительно-определенный Стилтьес
Выполнение условий на изделия или инверсы	Конгруэнтный Идемпотент или проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный Ортогональный Унимодульный Одномогущий Унитарный Полностью унимодульный Взвешивание
С конкретными приложениями	Адъюгат знак чередования Дополненный Безу Карл Великий Картан циркулирующий Кофактор коммутация Путаница Коксетер Расстояние Дублирование и устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамм Гессен Домохозяин якобиан Момент Расплачиваться Выбирать Случайный Вращение Зейферт сдвиг Сходство симплектический Полностью позитивный Трансформация
Используется в статистике	Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Двойной стохастический Информация о Фишере Имеет Точность Стохастический Переход
Используется в теории графов	Смежность Бисмежность Степень Эдмондс Заболеваемость лапласиан Соседство Зайделя Все
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяши – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткая ассоциативность Гамма Гелл-Манн гамильтониан Нерегулярный Перекрывать С Государственный переход Замена З (химия)
Связанные термины	Джордан в нормальной форме Линейная независимость Матричная экспонента Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Форма эшелона строк Вронскиан
Математический портал Список матриц Категория:Матрицы