Личность Вайнштейна – Ароншайна

«Определительная теорема Сильвестра» перенаправляется сюда. Не путать с определяющей личностью Сильвестра .

В математике тождество Вайнштейна -Ароншайна гласит, что если $A$ и $B$ являются матрицами размера m × n и n × m соответственно (любая из которых или обе могут быть бесконечными), тогда предоставил $AB$ (и, следовательно, также $BA$) имеет следовой класс ,

$\det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),$

где $I_{k}$ – k × k единичная матрица размера .

Она тесно связана с леммой об определителе матрицы и ее обобщением. Это детерминантный аналог матричного тождества Вудбери для обратных матриц.

Доказательство

Тождество можно доказать следующим образом. Позволять $M$ быть матрицей, состоящей из четырех блоков $I_{m}$, $A$, $B$ и $I_{n}$:

$M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.$

Поскольку I _m обратимо дает , формула для блочной матрицы определителя

$\det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det \left(I_{n}-BI_{m}^{-1}A\right)=\det(I_{n}-BA).$

Поскольку I _n обратимо, формула для определителя блочной матрицы дает

$\det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det \left(I_{m}-AI_{n}^{-1}B\right)=\det(I_{m}-AB).$

Таким образом

$\det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB).$

Замена $-A$ для $A$ затем дает тождество Вайнштейна – Ароншайна.

Приложения

Позволять $\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$. Тождество можно использовать, чтобы показать несколько более общее утверждение, что

$\det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{m-n}\det(BA-\lambda I_{n}).$

Отсюда следует, что ненулевые собственные значения $AB$ и $BA$ одинаковы.

Это тождество полезно при разработке оценки Байеса для многомерных гауссовских распределений .

Тождество также находит применение в теории случайных матриц , связывая определители больших матриц с определителями меньших.