Лемма об определителе матрицы

В математике , в частности линейной алгебре , лемма об определителе матрицы вычисляет определитель суммы обратимой матрицы A и двоичного произведения в u   v ^Т столбца , вектора- u и вектора-строки v ^Т .

Заявление

Предположим, что A — обратимая квадратная матрица , а u , v — векторы- столбцы . Тогда лемма об определителе матрицы утверждает, что

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.$

Вот, уф ^Т — внешнее произведение двух векторов u и v .

Теорему также можно сформулировать в терминах матрицы A сопряженной :

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,$

в этом случае это применимо независимо от того, является ли квадратная матрица A обратимой.

Доказательство

Сначала доказательство частного случая A = I следует из равенства:

${\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

Определитель левой части является произведением определителей трех матриц. Поскольку первая и третья матрицы представляют собой треугольные матрицы с единичной диагональю, их определители равны всего 1. Определитель средней матрицы — это искомое значение. Определитель правой части равен просто (1 + v ^Т ты ). Итак, мы имеем результат:

$\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).$

Тогда общий случай можно найти как:

${\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}$

Приложение

Если определитель и обратное к A уже известны, формула обеспечивает численный дешевый способ вычисления определителя A с поправкой на матрицу uv ^Т . Вычисления относительно дешевы, поскольку определитель A + uv ^Т не нужно рассчитывать с нуля (что, как правило, дорого). Использование единичных векторов для u и/или v , отдельных столбцов, строк или элементов. и A Таким образом, можно манипулировать соответственно обновлять определитель, вычисляя его относительно дешево.

Когда лемма об определителе матрицы используется в сочетании с формулой Шермана-Моррисона , и обратную, и определитель можно удобно обновлять вместе.

Обобщение

Предположим, что A — обратимая n на матрица размером n , а U , V — n на матрицы размером m . Затем

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).$

В особом случае $\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}$ это тождество Вайнштейна-Ароншайна .

Учитывая дополнительно обратимую m на размером m матрицу W , соотношение также можно выразить как

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).$

См. также

• Формула Шермана-Моррисона , показывающая, как обновить обратную величину, A ⁻¹ , чтобы получить ( A + uv ^Т ) ⁻¹ .
• Формула Вудбери , показывающая, как обновить обратную величину, A ⁻¹ , чтобы получить ( A + UCV ^Т ) ⁻¹ .
• Биномиальная обратная теорема для ( A + UCV ^Т ) ⁻¹ .