Jump to content

Единичный вектор

(Перенаправлено из Единичных векторов )

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом или «шляпкой», как в (произносится как «в-хэт»).

Термин «вектор направления» , обычно обозначаемый как d , используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления и относительного направления . Двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичном круге. а пространственные направления в 3D эквивалентны точке на единичной сфере .

Примеры двух двумерных векторов направления
Примеры двух трехмерных векторов направления

Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т. е.

где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . [1] [2] Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора .

Единичные векторы часто выбираются в качестве основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.

Ортогональные координаты

[ редактировать ]

Декартовы координаты

[ редактировать ]

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .

Их часто обозначают с использованием общепринятых векторных обозначений (например, x или ), а не стандартное обозначение единичного вектора (например, ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y и z (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения ( î , ĵ , ), ( 1 , 2 , 3 ), ( ê x , ê y , ê z ) или ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), со шляпой или без нее , являются также используется, [1] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовых обозначениях как линейная комбинация x , y , z , его три скалярные компоненты можно назвать направляющими косинусами . Значение каждой компоненты равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).

Цилиндрические координаты

[ редактировать ]

Три ортогональных единичных вектора, соответствующие цилиндрической симметрии:

  • (также обозначенный или ), представляющий направление, по которому измеряется расстояние точки от оси симметрии;
  • , представляющий направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
  • , представляющий направление оси симметрии;

Они связаны с декартовым базисом. , , к:

Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также работать с самими единичными векторами. Производные по являются:

Сферические координаты

[ редактировать ]

Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии: , направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x , направление, в котором увеличивается ; и угол от положительной оси z , направление, в котором увеличивается . Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол обычно принимается в диапазоне от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного тройка, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто бывают обратными. Вот американская «физическая» конвенция [3] используется. Это оставляет азимутальный угол определяется так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы отношения :

Сферические единичные векторы зависят от обоих и , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более полное описание см. в разделе «Матрица и определитель Якобиана» . Ненулевые производные:

Общие единичные векторы

[ редактировать ]

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [4]

Единичный вектор Номенклатура Диаграмма
Касательный вектор к кривой/линии потока "200 пикселей" "200 пикселей"

Нормальный вектор к плоскости, содержащей и определяемой вектором радиального положения и угловое тангенциальное направление вращения необходимо для того, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения.

Нормаль к касательной плоскости к поверхности/плоскость, содержащая радиальную составляющую положения и угловую тангенциальную составляющую

В терминах полярных координат ;

Бинормальный вектор к касательной и нормали [5]
Параллельно некоторой оси/линии "200 пикселей"

Один единичный вектор выровнено параллельно главному направлению (красная линия) и перпендикулярному единичному вектору находится в любом радиальном направлении относительно главной линии.

Перпендикулярно некоторой оси/линии в некотором радиальном направлении
Возможное угловое отклонение относительно какой-либо оси/линии "200 пикселей"

Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π /2 рад) относительно главного направления.

Криволинейные координаты

[ редактировать ]

В общем, система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов. [1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы можно обозначить . Почти всегда удобно определить систему как ортонормированную и правую :

где - это дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и символ Леви-Чивита (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и -1 для перестановок, упорядоченных как kji ).

Правый вариант

[ редактировать ]

Единичный вектор в был назван правым версором , У. Р. Гамильтоном когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v — единичный вектор в , то квадрат v в кватернионах равен –1. по формуле Эйлера Таким образом , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в .

Таким образом, правые версоры расширяют понятие мнимых единиц, найденных в комплексной плоскости , где правые версоры теперь располагаются по 2-сфере. а не пара {i, –i} в комплексной плоскости.

В более широком смысле, правый кватернион является действительным кратным правом версору.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
  2. ^ «Единичные векторы» . Блестящая вики по математике и естественным наукам . Проверено 19 августа 2020 г.
  3. ^ Тевиан Дрей и Корин А. Маноуг, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
  4. ^ Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия «Очерки Шаума») (5-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-150861-2 .
  5. ^ г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия «Очерки Шаума») (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-161545-7 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ff03b5095330d861ee35a4ab68a88b1e__1716662520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ff/1e/ff03b5095330d861ee35a4ab68a88b1e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Unit vector - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)