Единичный вектор
В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом или «шляпкой», как в (произносится как «в-хэт»).
Термин «вектор направления» , обычно обозначаемый как d , используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления и относительного направления . Двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичном круге. а пространственные направления в 3D эквивалентны точке на единичной сфере .
Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т. е.
где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . [1] [2] Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора .
Единичные векторы часто выбираются в качестве основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.
Ортогональные координаты
[ редактировать ]Декартовы координаты
[ редактировать ]Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:
Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .
Их часто обозначают с использованием общепринятых векторных обозначений (например, x или ), а не стандартное обозначение единичного вектора (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y и z (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ) или ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), со шляпой или без нее , являются также используется, [1] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).
Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовых обозначениях как линейная комбинация x , y , z , его три скалярные компоненты можно назвать направляющими косинусами . Значение каждой компоненты равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).
Цилиндрические координаты
[ редактировать ]Три ортогональных единичных вектора, соответствующие цилиндрической симметрии:
- (также обозначенный или ), представляющий направление, по которому измеряется расстояние точки от оси симметрии;
- , представляющий направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
- , представляющий направление оси симметрии;
Они связаны с декартовым базисом. , , к:
Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также работать с самими единичными векторами. Производные по являются:
Сферические координаты
[ редактировать ]Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии: , направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x , направление, в котором увеличивается ; и угол от положительной оси z , направление, в котором увеличивается . Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол обычно принимается в диапазоне от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного тройка, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто бывают обратными. Вот американская «физическая» конвенция [3] используется. Это оставляет азимутальный угол определяется так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы отношения :
Сферические единичные векторы зависят от обоих и , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более полное описание см. в разделе «Матрица и определитель Якобиана» . Ненулевые производные:
Общие единичные векторы
[ редактировать ]Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [4]
Единичный вектор | Номенклатура | Диаграмма |
---|---|---|
Касательный вектор к кривой/линии потока | Нормальный вектор к плоскости, содержащей и определяемой вектором радиального положения и угловое тангенциальное направление вращения необходимо для того, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения. | |
Нормаль к касательной плоскости к поверхности/плоскость, содержащая радиальную составляющую положения и угловую тангенциальную составляющую | В терминах полярных координат ; | |
Бинормальный вектор к касательной и нормали | [5] | |
Параллельно некоторой оси/линии | Один единичный вектор выровнено параллельно главному направлению (красная линия) и перпендикулярному единичному вектору находится в любом радиальном направлении относительно главной линии. | |
Перпендикулярно некоторой оси/линии в некотором радиальном направлении | ||
Возможное угловое отклонение относительно какой-либо оси/линии | Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π /2 рад) относительно главного направления. |
Криволинейные координаты
[ редактировать ]В общем, система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов. [1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы можно обозначить . Почти всегда удобно определить систему как ортонормированную и правую :
где - это дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и — символ Леви-Чивита (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и -1 для перестановок, упорядоченных как kji ).
Правый вариант
[ редактировать ]Единичный вектор в был назван правым версором , У. Р. Гамильтоном когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v — единичный вектор в , то квадрат v в кватернионах равен –1. по формуле Эйлера Таким образом , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в .
Таким образом, правые версоры расширяют понятие мнимых единиц, найденных в комплексной плоскости , где правые версоры теперь располагаются по 2-сфере. а не пара {i, –i} в комплексной плоскости.
В более широком смысле, правый кватернион является действительным кратным правом версору.
См. также
[ редактировать ]- Декартова система координат
- Система координат
- Криволинейные координаты
- Четырехскоростной
- Матрица Якобиана и определитель
- Нормальный вектор
- Полярная система координат
- Стандартная основа
- Единичный интервал
- Единичный квадрат , куб , круг , сфера и гипербола.
- Векторные обозначения
- Вектор единиц
- Единичная матрица
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
- ^ «Единичные векторы» . Блестящая вики по математике и естественным наукам . Проверено 19 августа 2020 г.
- ^ Тевиан Дрей и Корин А. Маноуг, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
- ^ Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия «Очерки Шаума») (5-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2 .
- ^ г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия «Очерки Шаума») (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7 .
Ссылки
[ редактировать ]- ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6 .
- Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4 .
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х .