Матрица Гильберта

В линейной алгебре матрица Гильберта , введенная Гильбертом ( 1894 ), представляет собой квадратную матрицу , элементы которой представляют собой единичные дроби.

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

Например, это матрица Гильберта 5 × 5:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

Записи также могут быть определены интегралом

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

то есть как матрица Грама для степеней x . Он возникает при по методу наименьших квадратов приближении произвольных функций полиномами .

Матрицы Гильберта являются каноническими примерами плохо обусловленных матриц, которые, как известно, трудно использовать в числовых вычислениях . Например, число обусловленности 2-нормы приведенной выше матрицы составляет около 4,8 × 10. ⁵ .

Историческая справка

Гильберт (1894) ввел матрицу Гильберта для изучения следующего вопроса теории приближения : «Предположим, что I = [ a , b ] является действительным интервалом. Можно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целыми коэффициентами, такой что интеграл

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

меньше любой заданной границы ε > 0, взятой сколь угодно малой?» Чтобы ответить на этот вопрос, Гильберт выводит точную формулу для определителя гильбертовых матриц и исследует их асимптотику. Он приходит к выводу, что ответ на его вопрос положителен, если длина b − a интервала меньше 4.

Характеристики

Матрица Гильберта симметрична и положительно определена . Матрица Гильберта также полностью положительна (это означает, что определитель каждой подматрицы положителен).

Матрица Гильберта является примером матрицы Ханкеля . Это также конкретный пример матрицы Коши .

Определитель может быть выражен в замкнутой форме , как частный случай определителя Коши . Определитель размера n × n матрицы Гильберта равен

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

где

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Гильберт уже упоминал тот любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целому числу (см. последовательность OEIS : A005249 в OEIS ), что также следует из тождества

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.$

Используя приближение Стирлинга факториала : , можно установить следующий асимптотический результат

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

где n _{постоянной} сходится к $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450$ как $n\to \infty$, где A — постоянная Глейшера–Кинкелина .

Обратная биномиальных матрица Гильберта может быть выражена в замкнутой форме с использованием коэффициентов ; его записи

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

где n — порядок матрицы. Отсюда следует, что все элементы обратной матрицы являются целыми числами и что знаки образуют шахматную доску, будучи положительными на главной диагонали . Например,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

Число обусловленности матрицы Гильберта размера n × n растет как $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)$.

Приложения

Метод моментов, примененный к полиномиальным распределениям, дает матрицу Ганкеля , которая в частном случае аппроксимации распределения вероятностей на интервале [0, 1] приводит к матрице Гильберта. Эту матрицу необходимо инвертировать, чтобы получить весовые параметры аппроксимации полиномиального распределения.

Дальнейшее чтение

• Гильберт, Дэвид (1894), «Вклад в теорию полинома Лежандра», Acta Mathematica , 18 : 155–159, doi : 10.1007/BF02418278 , ISSN   0001-5962 , JFM   25.0817.02 . Перепечатано в Гильберт, Дэвид. «статья 21». Собранные бумаги . Том. II.
• Беккерманн, Бернхард (2000). «Число обусловленности действительных матриц Вандермонда, Крылова и положительно определенных матриц Ганкеля». Численная математика . 85 (4): 553–577. CiteSeerX   10.1.1.23.5979 . дои : 10.1007/PL00005392 . S2CID   17777214 .
• Цой, M.-D. (1983). «Уловки или угощения с матрицей Гильберта». Американский математический ежемесячник . 90 (5): 301–312. дои : 10.2307/2975779 . JSTOR   2975779 .
• Тодд, Джон (1954). «Состояние конечных сегментов гильбертовой матрицы». Национальное бюро стандартов, серия «Прикладная математика» . 39 : 109–116.
• Уилф, HS (1970). Конечные сечения некоторых классических неравенств . Гейдельберг: Спрингер. ISBN  978-3-540-04809-1 .