Матрица Лемера

В математике , особенно в теории матриц , n×n матрица Лемера размера (названная в честь Деррика Генри Лемера ) является постоянной симметричной матрицей , определяемой формулой

$A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}$

Альтернативно это можно записать как

$A_{ij}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}.$

Характеристики

Как видно из раздела примеров, если A — матрица Лемера размера n×n , а B — m×m , то A является подматрицей B матрица Лемера размера всякий раз, когда m > n . Значения элементов уменьшаются к нулю по мере удаления от диагонали, где все элементы имеют значение 1.

Обратная супердиагональ матрица Лемера — это трехдиагональная матрица , где и субдиагональ имеют строго отрицательные элементы. Рассмотрим снова матрицы Лемера n×n A и m×m B , где m > n . Довольно своеобразным свойством их обратных является то, что A ⁻¹ является почти подматрицей B ⁻¹ , кроме А ⁻¹ _{элемент n,n} , не равный B ⁻¹ _{н, н} .

Матрица Лемера порядка n имеет след n .

Примеры

Матрицы Лемера 2×2, 3×3 и 4×4 и их обратные показаны ниже.

${\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {Brown}{\mathbf {4/3} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {Brown}{\mathbf {9/5} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {Brown}{\mathbf {16/7} }}\end{pmatrix}}.\\\end{array}}$

См. также

• Деррик Генри Лемер
• Матрица Гильберта

Ссылки

• М. Ньюман и Дж. Тодд, Оценка программ обращения матрицы , Журнал Общества промышленной и прикладной математики, том 6, 1958, страницы 466–476.